Федеральное агенство по образованию

2.4.3. Бигармоническое уравнение. Решение Навье
Уравнение вида
,
где – оператор Лапласа (см. п.2.4.1), называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до четвёртого порядка включи­тельно, называются бигармоническими функциями.
Бигармоническое уравнение имеет различный вид в различных системах координат. В декартовой системе координат однородное бигармоническое уравнение записывается так:

и, как видно, является дифференциальным уравнением в частных производных четвёртого порядка эллиптического типа.
К бигармоническому уравнению приводятся многие статические и динамические задачи механики и физики.
Рассмотрим его решение на примере задачи об изгибе пластины прямоугольного очертания в плане, свободно опёртой по контуру. Это решение в двойных тригонометрических рядах Фурье впервые бы­ло получено в 1820 году Л.Навье и носит его имя [10].
Можно показать, что задача определения малых прогибов тон­кой упругой прямоугольной пластины, подверженной действию попе­речной нагрузки, приводится к неоднородному бигармоническому уравнению вида
(2.147)
или
, (2.148)
где – прогиб пластины, – внешняя поперечная нагрузка, D = Eh³/[12(1 – μ²)] – цилиндрическая жест­кость пластины (h – толщина пластины, E – модуль упругости материала, – коэффициент Пуассона).
Уравнение (2.148) называется уравнением Софи Жермен–Лагран­жа. Для получения единственного решения к уравнению (2.148) не­обходимо присоединить граничные условия. Для свободно опëртой пластины на контуре равны нулю прогибы и изгибаю­щие моменты. Можно показать, что граничные условия при этом могут быть запи­саны в виде (см. рис.2.2)

(2.149)

Для решения краевой задачи (2.148–2.149) искомая функция – прогиб пластины w(x, y) представляется в виде разложения в двойной тригонометри­ческий ряд Фурье
. (2.150)
Заметим, что каждый член ряда (2.150) удовлетворяет всем граничным условиям (2.149).
Подставляя ряд (2.150) в уравнение (2.147), получим
. (2.151)
Далее раскладываем в двойной тригонометрический ряд Фурье по синусам правую часть уравнения (2.151)
. (2.152)
Коэффициенты двойного ряда Фурье (2.152) в силу ортогональности синусов определяются по формуле
. (2.153)
Подставляя (2.152) в (2.151) и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях получающегося равенства при синусах, получим равенство
,
из которого выражаем неизвестный коэффициент разложения прогиба через известный коэффициент разложения нагрузки:
. (2.154)
После подстановки (2.154) в (2.150) получим окончательное решение задачи в виде
. (2.155)
Рассмотрим случай нагрузки, равномерно распределëнной по всей поверхности пластины. Тогда q(x, y) = q₀ = const. При этом из (2.153) следует


Подставляя это значение a_mn в (2.155), получим выражение для прогиба в произвольной точке пластины, нагруженной равномерно распределëнной нагрузкой
.
где суммирование проводится по нечëтным m и n: m = 1, 3, 5,..., n = 1, 3, 5,... Из приведëнного решения следует, что максимальный прогиб будет в центре пластины при x = a/2 и y = b/2
. (2.156)
Этот ряд быстро сходится и практически достаточно ограни­читься его первым членом. Полагая в (2.156) , получим для квадратной пластины (при известную формулу [10]
.