Egri chiziqlarning parametrik tenglamalari. Vektorlarning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqi

Arifmetik vektorlar ustida chiziqli amallar va ularning xossalari
n o`lchovli arifmetik vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagicha bajariladi:

1. 
   Berilgan x va y vektorlarni qo`shganda ularning mos koordinatalari qo`shiladi: x + y = (x₁ + y₁; x₂ + y₂; …; x_n + y_n).
   
2. 
   Berilgan x vektorni k haqiqiy songa ko`paytirganda uning har bir koordinatasi k marta ortadi: kx = (kx₁; kx₂; …; kx_n).
   

Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga bo`ysinadi:
1) x + y = y + x; 5) (α + β) x = α x + β x;

2) x + (y + z) = (x + y) + z; 6) α (β x) = (α β) x;

3) x + (- y) = x – y ; 7) x + θ = x;

4) α (x + y) = α x + α y; 8) x 1 = x ,

bu yerda, x, y va z – arifmetik vektorlar, α va β esa haqiqiy sonlar.
Arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi. Vektor uzunligi

Skalyar ko`paytma xossalari
Berilgan x = (x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; …; x<sub>n</sub>) va y = (y<sub>1</sub>; y<sub>2</sub>; …; y<sub>n</sub>) arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb, vektorlar mos koordinatalari ko`paytmalarining yig`indisiga teng songa aytiladi va (x, y) shaklda yoziladi. Ta`rifga binoan,

(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + …+ x_ny_n yoki

Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) vektorning moduli yoki uzunligi (normasi) deb, quyidagi formula bo`yicha aniqlanadigan nomanfiy |x| songa aytiladi:

yoki .

Vektorlarning skalyar ko`paytmasi quyidagi xossalarga bo`ysinadi:

1) (x, x) ≥ 0 , 3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z),

2) (αx, y) = α(x, y), 4) (x, y) = (y, x).

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Vektorlar orasidagi burchak. Uchburchak tengsizligi

Skalyar ko`paytma xossalaridan foydalanib, quyidagi Koshi–Bu-nyakovskiy tengsizligini isbotlash mumkin:

|(x, y)| ≤ |x| |y|.
Tengsizlik bo`yicha x va y vektorlar skalyar ko`paytmasi absolut qiymati vektorlar modullari ko`paytmasidan katta emas.

Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi koordinatalarda

ko`rinishda yoziladi. Shunday bir yagona λ = cos φ  [-1; 1] (φ[0;π]) son tanlash mumkinki, bunda
(x, y) = |x| |y| cosφ (φ  [0; π]).
tenglik o`rinli bo`ladi. Oxirgi tenglikdan real fazoda bo`lgani kabi, abstrakt R_n fazoda ham uning x va y arifmetik vektorlari orasidagi burchak haqida gapirish mumkin va uning kattaligi kosinusini aniqlash mumkin:


R_n fazoda ham uchburchak yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi
|x + y| ≤ |x| + |y|
tengsizlik o`rinli.

Vektorlar sistemasi.