2-mavzu: Determinantlar va ularning xossalari. Matritsalar ustida amallar. Teskari matritsa. Matritsaning rangi. Ikkinchi, uchinchi tartibli determinantlarni hisoblash

2-mavzu: Determinantlar va ularning xossalari. Matritsalar. Matritsalar ustida amallar. Teskari matritsa. Matritsaning rangi.

Ikkinchi, uchinchi tartibli determinantlarni hisoblash: a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ haqiqiy sonlar berilgan bo’lsin: ikkinchi tartibli determinant (yoki aniqlovchi) deb, kabi belgilanuvchi va = a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁ tenglik bilan aniqlanuvchi songa aytiladi

Berilgan a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, a₃₃ haqiqiy sonlardan tuzilgan a₁₁a₂₂a_{33 +} a₁₂a₂₃ a₃₁₊ a₁₃ a₂₁ a₃₂ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₃a₂₂a₃₁ yig’indiga teng va

kabi berilgan songa uchinchi tartibli determinant deb ataladi. Uchinchi tartibli determinantlarni uchburchaklar usulida, Sarryus usulida hamda biror satr yoki ustun elementlari bo’yicha yoyib, hisoblash mumkin.

1.Uchburchaklar usuli:

(+) (-)

a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₃a₂₂a₃₁

2. Sarryus usuli:

=a₁₁a₂₂a₃₃ +a₂₁a₃₂a₁₃+a₃₁a₁₂a₂₃- a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₃a₂₂a₃₁

3. Birinchi ustun elementlari bo’yicha yoyib, hisoblash:

=a₁₁ -a₂₁ +a₃₁

Misollar.

1. a) = 3^.5–(-4)^.2 = 15+8 = 23

b) = ^. – (-1)^.a = a+a = 2a

2. Uchinchi tartibli determinantlarni uchburchaklar usuli, Sarryus usuli hamda biror ixtiyoriy satr yoki ustun elementlari bo’yicha yoyib hisoblang:

a) =1^. (-3)^.(-5) + 1^.1^.4 + 2^.(-1)^.1 – 1^.(-3)^.4 – 1^.2^.(-5) – 1^.(-1)^.1 =

= 15 + 4 – 2 + 12 + 10 + 1 = 40

b) = 15 – 2 + 4 + 12 + 1 + 10 = 40

c) = 1 - 1 + 1 = 16 + 14 + 10 = 40

Determinantning asosiy xossalari yordamida yuqori tartibli determinantlar

quyi tartibli determinantga keltiriladi.

Misol: a) det= bu determinantni biror satr yoki ustunda nollar hosil qilib, hisoblaymiz. Buning uchun 1-satrni (-1) ga ko’paytirib 2-satrga qo’shamiz:

2 – ustun elementlari bo’yicha yoyib yozamiz:

Det= 1^.(-1)¹⁺² =-(-2+1)=1

b) determinantni hisoblang.

Determinantni hisoblash uchun biror yo’l yoki ustunda nollar hosil qilamiz. Buning uchun 2-satr elementlarini (-3) ga ko’paytirib 1-satr elementlariga, 2-satrni 2 ga ko’paytirib 3-satr elementlariga qo’shamiz, 4-satr elementlaridan 2-satr elementlarini ayiramiz. Natijada berilgan determinant quyidagi ko’rinishga keladi:

Det =

Determinantni 1-ustun elementlari bo’yicha yoyib yozamiz:

Det = -

1- satr elementlariga 2- satr elementlarini hadma–had qo’shib, 1 – satr elementlari bo’yicha yoyib yozamiz:

Det = = -7 = -70

Berilgan determinantning barcha algebraik to`ldiruvchilarini toping.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ = -30; A₁₂ = (-1)^{1+2 .} = -20;

A₁₃ = (-1)¹⁺³ = 15; A₂₁ = (-1)^{2+1 .} = 70;

A₂₂ = (-1)²⁺² = 25; A₂₃ = (-1)^{2+3 .} = -22;

A₃₁ = (-1)³⁺¹ = 15; A₃₂ = (-1)^{3+2 .} = 10;

A₃₃ = (-1)³⁺³ = -1.

Determinantning ixtiyoriy satr yoki ustun elementlarining o’z algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytmalarining yig’indisi uning kattaligiga teng degan xossaga ko’ra, har qanday determinantni ixtiyoriy satr (ustun) bo’yicha yoyib yozish mumkin.

Tartiblari bir hil bo`lgan 2 ta determinantni qo`shish amali hossasini faqatgina bittadan mos satrlari (yoki ustunlari) farq qilgandagina qo`llash mumkin:

+ =

Misol:

.