Длина дуги кривой. Спрямляемая кривая. Натуральный параметр и натуральные уравнения

Примеры
Пример 1

Вычислить длину дуги кривой

Решение: аналитические условия задают левую верхнюю дугу астроиды. Причём параметрические уравнения «прорисовывают» эту кривую справа налево, но, как я только что отметил, сейчас нас это не волнует, и асфальтный каток едет дальше.
Используем формулу
Сначала найдём производные:

и упростим сумму их квадратов:

Это оптимальная во многих случаях техника решения, позволяющая не «таскать за собой» значки корня и интеграла с пределами интегрирования. Тем самым минимизируется риск что-нибудь потерять в громоздкой записи.
Гораздо удобнее «зарядить» в формулу готовую сумму:

А вот теперь самый важный момент. Здесь нельзя «машинально» избавляться от корня и необходимо придерживаться следующего правила:
, если функция на промежутке ,
Или , если на данном промежутке .
Эта «развилка» сохраняет неотрицательность подынтегральной функции, что соответствует геометрическому смыслу задачи.
На отрезке , следовательно, их произведение неположительное: и поэтому
Не понимаете, почему ? Посмотрите на их графики.
Продолжаем, а точнее, заканчиваем решение:
Ответ:

.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Еще у математиков Древней Греции мы находим ряд геометрических предложений, которые теперь относим к области проективной геометрии. Несколько таких предложений помещено в труде «Математическое собрание» греческого математика Паппа Александрийского, жившего в III веке нашей эры. Замечательная теорема, которую мы называем теоремой Паппа, высказана и доказана в 139-м предложении VII книги «Математического собрания».
Однако идеи древних греков в области проективной геометрии не были систематизированы и терялись среди множества теорем метрического характера.
В XVII столетии Паскаль написал «Опыт о конических сечениях». Его работа положила начало проективной геометрии.
Сын известного математика Этьена Паскаля, Блез Паскаль, уже в детстве обнаружил необыкновенные способности. Теорему о вписанном шестиугольнике он открыл и доказал в пятнадцатилетнем возрасте. Одновременно он решил многие задачи, связанные с этой теоремой.
Теорему об описанном шестиугольнике Шарль Брианшон (1785-1864) открыл в 1806 году. Он сформулировал и доказал эту теорему в возрасте двадцати одного года, будучи учеником Политехнической школы в Париже.
Теоремы, которые мы теперь так естественно рассматриваем совместно, были отделены одна от другой большими промежутками времени: между теоремами Паскаля и Брианшона прошло полтора столетия.

Р ассматривая представленные частные случаи, можно убедиться в том, что каждой новой фигуре Паскаля может быть сопоставлена, по принципу двойственности, новая фигура Брианшона и соответствующие свойства этих фигур двойственны.

Частные случаи теорем Паскаля и Брианшона применяются для решения многих геометрических задач.
Например, с помощью теоремы о вписанном пятиугольнике легко решается задача о проведении касательной в любой точке любого невырожденного конического сечения.
Для проведения такой касательной мы будем считать заданную точку на кривой вершиной некоторого вписанного пятиугольника. Построим произвольно остальные четыре вершины пятиугольника и проведем его сторону учитывая при этом лишь удобство выполнения чертежа (Рис. 25). Определив точки пересечения двух пар противоположных сторон, проведем прямую Паскаля. Продолжим оставшуюся пятую сторону, до пересечения с прямой Паскаля. Наконец, соединив полученную точку пересечения с заданной точкой прикосновения, мы найдем искомую касательную.
Заметим, что, имея на чертеже заданное коническое сечение, можно провести касательную в любой его точке, пользуясь только линейкой.