Длина дуги кривой. Спрямляемая кривая. Натуральный параметр и натуральные уравнения

Длина дуги
Длина дуги кривой линии определяется как предел периметра ломаной линии, вписанной в данную дугу, если число звеньев этой линии неограниченно возрастает, а длина каждого звена стремится к нулю. Найдем способ вычисления длины дуги, линии, заданной параметрическим уравнением


Для этого разобьем данную дугу AB на n частей точками и впишем в нее ломаную линию с вершинами в этих точках. Каждое звено этой ломаной линии будет хордой кривой, и его длина будет равна абсолютной величине приращения радиуса-вектора кривой, соответствующего
переходу от точки номера i − 1 к точке номера i.

Длина вписанной ломаной будет равна

Если приращение соответствует приращению параметра, то ту же
сумму можно представить в виде

если при этом предположить, что номера точек возрастают вместе с возрастанием параметра, так что положительно.
Н о разность между отношением
приращений и производной, взятой при каком-либо промежуточном значении t на промежутке
, стремится к нулю вместе с
этим промежутком, так как предел обоих равен производной в начальной точке этого промежутка.
Разность между абсолютными величинами того же отношения и
производной

очевидно, тоже будет бесконечно малой величиной. Представим сумму в следующем виде:

Из непрерывности производной следует, что при достаточно малом
все по абсолютной величине могут быть сделаны меньше любого наперед
заданного числа , одного и того же для всех . Так что

но в таком случае

Таким образом, вторая сумма становится и остается меньше любого наперед заданного положительного числа при стремлении к нулю промежутков
. Но вследствие этого предел второй суммы равен нулю и

Но сумма в правой части есть интегральная сумма для функции . Откуда следует