3 Глава Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики



Download 0,59 Mb.
bet3/8
Sana06.07.2022
Hajmi0,59 Mb.
#744970
TuriРешение
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической 1

Пример применения метода Гаусса


Для решения системы (4) мы также можем использовать метод Гаусса - метод последовательных исключений неизвестных. Рас- смотрим пример:

x1 + x2 + 3x4 = 4, 2x1 + x2x3 + x4 = 1,
3x1x2x3 + 2x4 = −3,
x1 + 2x2 + 3x3x4 = 4,

Теперь рассмотрим обратные замены:
−13x4 = −13, x4 = 1, 3x3 + 13x4 = 13 ⇒ x3 = 0,
x2x3 − 5x4 = −7, x2 = 2,
    1. Метод исключения Гаусса в общем случае


Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнения


a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = f1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = f2,
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = fn,

который в матричной форме выглядит так: Ax = f


(6)



.

ǁ ǁ
Здесь A = aij - матрица с индексами i, j = 1, .., n, x =

/
(x1, x2, ..., xn)T и f = (f1, f2, ..., fn)T суть векторы. Вектор x неизве- стен. Предположим, что det A = 0.


Если n имеет большое значение, то методом Крамера потребу- ется много времени для выполнения вычислений, приблизительное количество операций имеет порядок n!. Напротив, метод Гаусса го- раздо быстрее, так как ему нужно приблизительно n3/3 операций. Для примера, если n = 10, тогда 10! = 3628800 в сравнении с 103/3 333. Таким образом метод исключений Гаусса более эф- фективен при численном анализе.
После n шагов по прямому устранению неизвестных мы полу- чаем систему с верхней треугольной матрицей U

Сделав следующий шаг, получим


0 + a

k+1,n

k+1

(k)
k+1,k+1

xk+1 + ... + a(k)

xn = f (k) ,

(9)
xk + uk,k+1xk+1 + ... + ukn xn = yk,

улы представляют собой первую часть алгоритма. Они описывают последовательное исключение неизвестных xi. Неиз- вестные могут быть легко найдены из полученной системы с по-




≤ ≤ −
для 1 i n 1, если i = n, мы имеем xn = yn. Эти формулы обеспечивают вторую часть алгоритма. Используя этот алгоритм, мы можем построить компьютерный код.

Решение уравнений методом Гаусса


Пример №1 решение уравнений методом Гаусса:

С первой строки определяем х. Сначала -2у переносим на другую сторону уравнения, а затем обе стороны делим на 4.

Теперь во второе уравнение системы подставляем значение х. Находим у. 

Теперь когда у нас есть значение у, ми возвращаемся в первое уравнение и определяем х.

Ответ: x=−54;y=32x=−54;y=32
Пример №2.

Для упрощение перепишем уравнение так, чтобы на первом месте была строка с коэффициентом 1.

Теперь последовательно исключаем x1x1 с последующих строк. Для исключения с второго уравнения обе части первого уравнение надо умножаем на -3, а затем сложить с вторым.

Так же и с третьим уравнением, только умножение на -4.

Теперь приводим уравнение к ступенчатому виду. Нужно сделать так, чтобы во второй строке возле x2x2 стала 1. Значит нам надо обе части уравнения умножить −14−14

Для того чтобы избавится от x2x2 в третьим уравнении, мы множим вторую строку на 5 и слаживаем её с третьей.

Теперь с третьей строки находим x3x3.

Мы закончили прямой ход метода Гаусса. Теперь приступаем к обратному ходу. Подставляем значение х3 во вторую строку и вычисляем x2x2

Подставляем значение x2иx3x2иx3 в первое уравнение и вычисляем x1x1.
⎧⎪⎨⎪⎩x1=1x2=2x3=3{x1=1x2=2x3=3
Ответ: x1=1,x2=2,x3=3



    1. Download 0,59 Mb.

      Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish