27-§. n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffetsiyentli chiziqli differensial tenglama

2. Karrali ildizlar holi. Avvalo ga nisbatan, (1) tenglamaning chap tomonidagi L[y] ifodaning qiymatini hisoblaymiz. Bu yerda - butun son.

Teorema-1. Agar soni (5) xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi bo‘lsa, u holda

(10)

munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda

Isbot. Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi

(11)

xususiy hol uchun L[ ] ifodani hisoblaymiz. Buning uchun quyidagi

sodda tengliklardan foydalanib, ushbu

ya’ni

(12)

formulani topamiz.

1. Aytaylik soni, ushbu

xarakteristik ko‘phadning k=2 ikki karrali ildizi, ya’ni

, ,

bo‘lsin. Bu holda (12) tenglikdan

munosabatga ega bo‘lamiz. Demak ikki karrali ildizga (11) tenglamaning

,

xususiy yechimlari mos keladi.

2. Aytaylik soni xarakteristik tenglamaning uch karrali ildizi,

ya’ni , , bo‘lsin. Qaralayotgan holda (12) formuladan foydalanib,

tenglikni olamiz. Demak, uch karrali ildiz holiga (11) differensial tenglamaning

, ,

ko‘rinishdagi xususiy yechimlariga ega bo‘lamiz.