27-§. n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffetsiyentli chiziqli differensial tenglama

Bessel funksiyasi deyiladi va

(3)

kabi belgilanadi.

Agar va butun son bo‘lmasa, u holda xuddi shuningdek (1) differensial tenglamaning yana bir (2) ko‘rinishdagi yechimini qurish mumkin. Bu esa (3) tenglikda ga almashtirish orqali aniqlanadi:

(4)

-funksiyaga -tartibli 1-tur Bessel funksiyasi deyiladi.

Agar va butun son bo‘lmasa, u holda va funksiyalar chiziqli erkli bo‘ladi, ya’ni

tenglik faqat bo‘lganda bajariladi. Shuning uchun va butun son bo‘lmasa, va funksiyalar (1) differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qiladi hamda ushbu

funksiya (1) Bessel tenglamasining yechimi bo‘ladi.

Agar butun, ya’ni son bo‘lsa, u holda (4) formula yaroqsiz. Cunki, uning maxraji cheksizga aylanishi mumkin. Ammo (4) formulada da limitga o‘tish mumkin:

Har bir tayinlangan x larda

munosabat o‘rinli. Bunda deb

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglik va funksiyalarning n ning butun qiymatlarida chiziqli bog‘liq ekanligini ko‘rsatadi.

Butun n larda (1) tenglamaning ikkinchi chiziqli erkli yechimiga 2-tur n- tartibli Bessel funksiyasi deyiladi va orqali belgilanadi. funksiyani Ostragradiskiy- Liuvill formulasidan foydalanib ham topish mumkin. Bunga to‘xtalib o‘tirmasdan da funksiya quyidagi

asimptotikalarni qanoatlantirishini e’tirof etamiz.

Shunday qilib butun larda (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi

ko‘rinishda bo‘lar ekan.