27-§. n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffetsiyentli chiziqli differensial tenglama

33-§. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning golomorf yechimi
Teorema-1. Agar ushbu

(1)

differensial tenglamaga qo‘yilgan

(2)

Koshi masalasida p(x), q(x) funksiyalar nuqtada golomorf, ya’ni

(3)

bo‘lsa, u holda (1) , (2) Koshi masalasining

(4)

ko‘rinishdagi yagona golomorf yechimi mavjud.

Isbot. Aniqmas koeffitsiyentlar usulidan foydalanib (1), (2) Koshi masalasining yechimini

(5)

ko‘rinishda izlaymiz. Bunda -hozircha noma’lum o‘zgarmaslardir. Bu (5) tenglikni ketma-ket ikki marta differensiallab

(6)

munosabatlarni topamiz. (2) boshlang‘ich shartlardan,

(8)

ekanligi kelib chiqadi. Endi (3), (4), (5) va (6) qatorlarni (1) differensial tenglamaga qo‘yib quyidagi

(9)

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikka darajali qatorlar uchun yagonalik teoremasini qo‘llasak, ya’ni ning oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglashtirsak

(10)

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bundan foydalanib, -koeffitsiyentlarni boshlang‘ich shartlar va koeffitsiyentlar yordamida yagona aniqlash mumkin:

(11)

Berilgan (1) differensial tenglamaning

(12)

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi

(13)

ko‘rinishda bo‘ladi. Bundan tashqari (1) differensial tenglamaning ushbu

(14)

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi

(15)

ko‘rinishda bo‘ladi.

(1) differensial tenglamaning yechimlari chiziqli erkli bo‘lib, uning umumiy yechimi

ko‘rinishida yoziladi.

Faraz qilaylik

(16)

bo’lsin. Bu tenglikda deb (12), (14) boshlang’ich shartlardan foydalansak,

Endi quyidagi

tenglikda deb

ekanligini topamiz. Demak (16) tenglik faqat bo‘lganda bajarilar ekan. Shuning uchun funksiyalar (1) differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qiladi.