27-§. n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffetsiyentli chiziqli differensial tenglama

35-§. Bessel tenglamasi.
Ushbu

(1)

ko‘rinishdagi tenglamaga Bessel tenglamasi deyiladi. Bu yerda -haqiqiy parametr. nuqta Bessel tenglamasi uchun regulyar maxsus nuqta bo‘ladi. Bessel tenglamasi matematika va nazariy fizikaning bir qancha masalalarida uchraydi. Bu paragrafda Bessel tenglamasining umumiy yechimini qurish algoritmini bayon qilamiz.

Bessel tenglamasining yechimini

(2)

ko‘rinishda izlaymiz. Avvalo bu darajali qatorning formal ikki marta differensiallab (1) tenglamaga qo‘yib va larning qiymatalarini topamiz:

Bu tenglikda x ning darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglashtirib va larga nisbatan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Berilishiga ko‘ra bo‘lgani uchun, birinchi tenglamadan ekanligini topamiz. Avvalo holni qaraymiz. Bu holda ikkinchi tenglamadan hamda

munosabatlarni topamiz. Bu yerda -ixtiyoriy son bo‘lgani boisdan, ni soddalashtirish maqsadida deb olish maqsadga muvofiq bo‘ladi. Bunda -Eylerning “gamma funksiyasi”. Ushbu

munosabatlardan foydalanib

tasvirni hosil qilamiz.

Dalamber belgisidan foydalanib va ekanligini inobatga olsak (2) darajali qatorning da yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish mumkin. Bundan tashqari (2) formula bilan aniqlangan y(x) funksiyani (1) differensial tenglamani yechimidan iborat ekanligini ham ko‘rsatish mumkin. Bu yechimga tartibli 1-tur