22- маъруза Икки қатламли айирмали схемалар тургунлиги ва яқинлашишини узгарувчиларга ажратиш методи ёрдамида тадқиқ этиш

3.2. Схеманинг бошлангич берилганларга нисбатан тургунлиги.
(2), (3)-схемани тадқиқ этиш учун ечимни (5) оператор хос функциялари ортонормал базис буйича ёйилмаси билан иш курамиз.
Хар бир n учун ечимни
(8)
куринишда тасвирлаш мумкин. унг томон хам худди шундай ёйилмага йул қуяди.
(9)
Бу ерда мос равишда функцияларнинг Фурье коэффициентлари. (8) ва (9)-ни (2)-тенгламага қуйиб ва эканлигини хисобга олиб

тенгликни хосил қиламиз.
чизиқли богликмас булгани учун, бу ерда квадрат қавс ичидаги ифодаларнинг нольга тенглиги келиб чикади, яъни

₍₁₀₎
эканлиги маълум булади.
(10)-тенглама хар бир k учун коэффициентларга нибатан биринчи тартибли айирмали тенгламадан иборат.
Ягона ечимни ажратиб олиш учун бошлангич шартни бериш лозим.
(10)-тенгламадан
(11)
бу ерда
(12)
муносабатга эга буламиз. (7)-га асосан

(8), (11) ларни хисобга олиб (2),(3)-масала ечими нинг
(13)
куринишда тасвирланишини аниқлаймиз.


(14)
ва
(15)
каби белгилаб эга буламиз. ва
функциялар нормаларини алохида – алохида бахолаймиз. ортонормалланганлигини инобатга олиб, (14)-тенгликдан

тенгликни хосил қиламиз.
Демак,
(16)
шартларнинг бажарилишини талаб қиламиз.
(16) шартнинг
(17)
тенгсизликка тенг кучли эканлигини куриш қийин эмас.
Бу ерда

(5)-операторнинг энг катта хос сони.
(17)-шарт
(18)
талабини қуйганимизда бажарилади. (17)-шартдан ихтиёрий

учун

яъни (7)-тенгсизлик келиб чиқади.
Шундай қилиб , агар (18) бажарилса
₍₁₉₎

уринли булади.

Аслида бу бахо (2), (3)-схеманинг бошлангич берилганларга нисбатан тургунлигини билдиради. Хақиқатдан хам , агар (2) тенгламада булса , унда булади.
Шунинг учун (19)- тенгсизликлардан

тенгсизликка эга буламиз. Бу (2),(3)- схеманинг бошлангич шартларга нисбатан
(20)
нормада тургунлигини билдиради.
Шундай қилиб, агар (2),(3)- схеманинг параметрлари (18)- шартни қаноатлантирсалар, унда схема бошлангич шартларга кура тургун ва исталган учун билан (2),(3)- масаланинг ечими учун (20)- нормада

бахо уринлидир деган хулосага келамиз.
ўнг томонга нисбатан тургунлик.
ни бахолаш учун (18)- шартни яна кучайтирамиз ва константа билан
(21)
тенгсизликнинг бажарилишини талаб қиламиз.
Унда ва исталган учун,

яъни эканлиги келиб чиқади.
(15)- ёйилмадан

бахони хосил қиламиз.
Демак
(22)
Агар булса, унда (21)- шарт ортиқча булиб қолади, чунки ва (22)- бахо билан бажариладилар. Учбурчаклар тенгсизлигидан

ва (19), (20)- бахолардан учун уринли булган
(23)
тенгсизликни хосил қиламиз.
(23)- ни n буйича қушиш
(24)
тенгсизликка олиб келади. Бу, уз навбатида (2), (3)- масаланинг унг томон ва бошлангич шартларга нисбатан тургунлигини билдиради.
(24)- ни инобатга олиб шартни инобатга олсак
(25)
тенгликга эга буламиз.
Шундай қилиб, агар (21)шарт билан бажарилса, унда (2),(3)- схема бошлангич шартлар ва унг томонга нисбатан тургун булади, унинг ечими учун (25)- бахо уринли. Агар булса ва (18)- шарт бажарилса (25)- бахо билан уринлидир.
(25)- бахо ва аппроксимация талабидан (2),(3)- схеманинг яқинлашиши келиб чиқади.
(4)- масала учун (25)- бахо куриниши
(26)
булади. Демак, нинг кичиклик тартиби аппоксимация хатолиги тартиби кабидир.
Хусусий холда

булганда га эга буламиз. (21)- шарт билан бажарилади. Шу сабабли яъни схема буйича иккинчи тартибли h буйича туртинчи тартибли аниқликга эга.
Агар булса, унда тургунлик шартлари ихтиёрий ва h қадамлар учун бажарилади ва булади. - нинг бошқа қийматларида, агар (21)- тенгсизлик билан бажарилса ёки агар булиб (18)- бажарилса муносабатга эга буламиз.