1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

REJA:


Kvant mexanikasidagi ba’zi ma’lumotlar

Ma’lumki, kvant mexanikasiga asoslangan statistik fizika kvant statistik fizikasi deyiladi. Demak, bunday holda tizimlarning ko’plab xususiyatlarini o’rganmoq uchun kvant mexanikasi apparatidan foydalanmoq lozim. Kvant mexanikasiga asosan bir vaqtning o’zida o’zaro qo’shma bo’lgan q-koordinata va r-impulslarni aniq o’lchash mumkin emas. Agar koordinata -gacha va impuls - gacha aniqlik bilan o’lchansa, u holda

(Geyzenbergning noaniqlik prinsipi) bajariladi. Bundagi koordinata qanchalik katta aniqlik bilan o’lchansa, impulsni o’lchashda shunchalik katta xatolikka yo’l qo’yamiz va aksincha. Shuning uchun barcha o’lchov asboblarini ikki sinfga, ya’ni koordinata va vaqtni, hamda impuls va energiyani o’lchovchi asboblarga ajratish mumkin. Har qaysi turdagi asboblar yordami bilan tegishli fizik kattaliklarni istalgancha aniqlik bilan bir vaqtda o’lchash mumkin.
Kvant mexanikasida tizim holati shu tizimning q koordinatalari va t-vaqtga bog’liq bo’lgan to’lqin funksiyasi orqali xarakterlanadi. kattaligi esa tizimning koordinatalari q~q+dq oralig’ida bo’lishi ehtimoliyatini anglatadi. To’lqin funksiyasi

(1.1)

Shredinger tenglamasini qanoatlantiradi. ( - Plank doimiysi).

Agar to’lqin funksiyasi va uning birinchi tartibli hosilasi muhitning butun sohasida chekli va uzluksiz bo’lsa, (1.1) ni yechish yo’li bilan ni topish mumkin. - tizim uchun Gamilton operatori, u Gamilton funksiyasidagi r_i umumlashtirilgan impulslarni operatorlar bilan almashtirish vositasida hosil qilinadi.
Nazariyada bevosita vaqtga bog’liq bo’lmagan hol muhim rol o’ynaydi. Bunday hol uchun (1.1) tenglamaning yechimini quyidagi

(1.2)

ko’rinishda izlash mumkin. Bu yerda (energiya birligiga ega). (1.2) ni (1.1) ga qo’yib uchun vaqtga bog’liq bo’lmagan

(1.3)

tenglamani hosil qilamiz. ning chekli va bir jinslilik shartlariga bo’ysunishini talab etib, muhitning chekli sohasi uchun bir qator diskret ₁,₂,…,_n xususiy qiymatlarni va ularga mos keluvchi xususiy funksiyalarni hosil qilish mumkin.

Kvant statistikasidan foydalanishda erkin harakatlanuvchi zarralarning, chiziqli ossilyatorning, rotatorning va vodorod atomining energetik sathlarini bilish juda muhimdir. Shuning uchun quyida bunday kvant tizimlaridan, masalan, hajmi V=L³ bo’lgan kub yashik ichida joylashgan zarraga tegishli masalani batafsil ko’rib chiqaylik.
Kub ichida m-massali zarraga potensial energiya qiymatining kub chegarasida cheksizga sakrab o’zgarishdan tashqari hyech qanday maydon ta’sir etmasin. Kub ichidagi zarra uchun Gamilton operatori
(1.4)
Bu yerda va sh.k.;
- Laplas operatori.
U holda kub ichidagi zarralarining stasionar holati


(1.3^/)

ko’rinishidagi tenglama bilan xarakterlanadi. Agar x,y,z koordinata o’qlarini kub qirralari bo’yicha yo’naltirsak, (1.3^/)tenglamasining yechimini

(1.5)

ko’rinishida izlash mumkin. Buni (1.3^/) ga qo’yib, so’ngra butun tenglamani ga bo’lib yuborsak,

tenglama hosil bo’ladi. Har biri bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan uch had yig’indisi doimiydir. Bunday bo’lishi uchun undagi har bir had doimiy bo’lishi kerak, ya’ni:

Demak,
(1.6)
va
(1.7)


- lar uchun ham (1.7) kabi ko’rinishga ega bo’lamiz.
k_x, k_y, k_z – larni to’lqin vektorining tashkil etuvchilari deb qarash mumkin. To’lqin funksiyasi uzluksiz bo’lishi uchun (1.5) kub chegarasida ham nolga teng bo’lishi lozim. U holda x=0 va x=L da (1.7) dan:
B=0; A·sin(k_x·L)=0
Bundan

shuningdek, - ixtiyoriy musbat sonlar. Bularni (1.5) va (1.6) ga qo’yib to’lqin funksiyasi va energiyasi uchun quyidagilarni hosil qilamiz:
(1.8)

(1.9)

Energetik spektr  ning bu yerda diskretligi ko’rinib turibdi. Lekin makroskopik sohalar uchun energetik sathlar juda zich joylashgan bo’ladi. Bunday spektrni kvaziuzluksiz spektr deyiladi. Bunday ko’rinishdagi energetik spektr idish ichidagi ideal gaz statistikasi, hamda qattiq jismda erkin harakat qiluvchi elektronlar xususiyati tekshirilganda ishlatiladi.

102. Mikrozarralarning aynan o’xshashlik prinsipi

Klassik mexanikada bir xil zarralar, ularning fizik xususiyatlari bir xil bo’lishiga qaramasdan o’zining «individualligini» saqlaydi va ularning har biri ma’lum bir trayektoriyaga ega. Kvant mexanikasida esa noaniqlik munosabatiga ko’ra zarralar xulqi bir-biridan tubdan farq qiladi. Bu holda zarralar trayektoriyaga ega emas. Agar belgilangan biror vaqtda zarraning egallagan o’rni ma’lum bo’lsa, cheksiz kichik vaqt o’tgach shu zarra koordinatasi ma’lum qiymatga ega bo’lmaydi. Shunday qilib, kvant mexanikasida tizimdagi bir xil zarralarning har birini kuzatish mumkin emas va shuning uchun ularni bir-biridan farq qilib bo’lmaydi.

Ikkita vodorod atomidan tashkil topgan tizimni misol tariqasida qaraylik. Agar bu ikki atom bir-biridan yetarlicha uzoqda bo’lsa va uning elektron qatlamlari o’zaro qoplanmagan bo’lsa har bir elektron o’zining yadrosiga tegishli bo’lib, u atrofida ma’lum bir qonuniyat bilan harakat qiladi. Atomlarni bir-biriga yaqinlashtirsak, ularning elektron qatlamlari o’zaro qoplanadi. Bu elektron qatlamlarining o’zaro qoplanish sohasida ikkala elektronni ham uchratish ehtimolligi paydo bo’ladi. Aytaylik, shu qoplanish sohasida bitta elektron kuzatilsin, shu elektronning qaysi yadroga tegishli ekanligini aniqlab bo’lmaydi. Bu Kvant zarralarining aynan o’xshashlik natijasidir.
Ko’plab o’xshash zarralar kvant mexanikasi-kvant statistikasida bir qator spesifik xususiyatlarga ega. Bu xususiyatlardan asosiysi zarralarning aynan o’xshashlik prinsipiga binoan tizimdagi zarralarning o’rninn almashtirishdan uning holati o’zgarmaydi.
Ikkita aynan bir xil zarrali oddiy hol uchun bu xususiyatning namoyon bo’lishini ko’rib chiqaylik. Bunday tizimning to’lqin funksiyasi (q₁,q₂,t) bo’lsin. Undagi ikkala zarraning o’rnini almashtirishdan hosil bo’lgan to’lqin funksiya ^/=(q₂,q₁,t) zarralarning aynan o’xshashlik prinsipiga binoan tizimning dastlabki holat to’lqin funksiyasi (q₁,q₂,t) dan farq qilmaydi. Shunday qilib, (q₁,q₂,t) va ^/=(q₂,q₁,t) to’lqin funksiyalari tizimning bitta holatini xarakterlaydi. Ma’lumki, bu xil fizik holatni xarakterlovchi to’lqin funksiyalari bir-biridan faqat doimiy ko’paytuvchi bilan farq qiladi. Shuning uchun,
 (q₁,q₂,t)= (q₂,q₁,t) (2.1)
(=const)
Agar zarralar o’rnini ikki marta o’zgartirsak tizim dastlabki holatga o’tadi. U holda to’lqin funksiyasi umuman o’zgarmasligi lozim va (2.1) ga asosan:
 (q₁,q₂,t)=  ( (q₂,q₁,t))= ² (q₁,q₂,t)
ya’ni,
²=1; =1
Bu esa zarralar o’rni almashganda tizimning to’lqin funksiyasi o’zgarmasligini (=1), yoki uning ishorasi o’zgarishini ( = -1) bildiradi.
Shuning uchun aynan o’xshash zarralar kvant statistikasi ikki xil to’lqin funksiyasining biri bilan xarakterlanadi. Bular simmetrik (=1) to’lqin funksiyasi va antisimmetrik (= -1) to’lqin funksiyalaridir.
Tizimning simmetrik yoki antisimmetrik to’lqin funksiyasi bilan xarakterlanishi uni tashkil etuvchi aynan o’xshash zarralar turiga bog’liq.
Agar tizim dastlab simmetrik yoki antisimmetrik to’lqin funksiyasi bilan ifodalanadigan bo’lsa, vaqt o’tishi bilan uning simmetrik xususiyati o’zgarmaydi. Boshqacha qilib aytganda, tizim simmetrik yoki antisimmetrik holatda qolaveradi.
Tizimning simmetrik yoki antisimmetrik to’lqin funksiyasi bilan ifodalanishi uni tashkil etuvchi elementar zarralar xususiyati orqali aniqlanadi. Spini butun songa teng bo’lgan zarralar simmetrik to’lqin funksiyasi bilan, spini kasr songa teng bo’lgan zarralar esa antisimmetrik to’lqin funksiyasi bilan ifodalanishi aniqlangan. Birinchi turdagi zarralarga bozonlar, ikkinchi turdagilariga esa fermionlar deyiladi.
Murakkab zarralar to’plamidan tashkil topgan tizimning simmetriyasini aniqlamoq uchun murakkab zarraning to’la spinini bilmoq lozim. Xuddi yuqoridagidek agar murakkab zarra to’la spini butun bo’lmasa antisimmetrik to’lqin funksiyasi bilan xarakterlanadi.