1-mavzu. Sonli ifodalar al-Xorazmiy kim bo‘lgan

Amallarning bajarilish tartibi.

Sonli ifodaning son qiymatini topishda amallar bajarilishining quyidagi tartibi qabul qilingan:

Agar ifodada qavslar bo‘lmasa, и holda avval uchinchi bosqich amallar, keyin ikkinchi bosqich amallar va, nihoyat, birinchi bosqich amallar bajariladi. Bir xil bosqich amallar ular qanday tartibda yozilgan bo‘lsa, xuddi shu tartibda bajariladi.

Agar ifodada qavslar bo‘lsa, и holda avval qavslar ichidagi sonlar ustida barcha amallar, so‘ngra esa qolgan barcha amallar bajariladi, bunda qavs ichidagi va undan tashqaridagi barcha amallar 1-bandda ko‘rsatilgan tartibda bajariladi.

 

Agar kasrning qiymati hisoblanadigan bo‘lsa, и holda kasrning suratidagi va maxrajidagi amallar bajariladi, so‘ngra birinchi natija ikkinchisiga bo‘linadi.

 

Agar ifodada qavslar ichida boshqa qavslar bo‘lsa, и holda avval eng ichkaridagi qavslar ichidagi amallar bajariladi.

  2-mavzu: Algebraik ifodalar

1. 
   1 . Algebraik ifoda.
   Quyidagi masalani ko‘rib chiqamiz: to‘g‘ri to‘rtburchakning asosi a sm ga, balandligi esa b sm ga teng. Shu to‘g‘ri to‘rtburchakning perimetrini toping.
   

Yechish. To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetrini p bilan belgilaylik. U holda p=a+b+a+b=2•a+2•b=2• (a+b)(sm)
Javob: 2• (a+b)sm.
Hosil qilingan 2• (a+b) ifoda algebraik ifodaga misol bo‘la oladi.

Algebraik ifoda deb sonlar va harflardan tuzilib, amallar belgilari bilan birlashtirilgan yozuvga aytiladi.

 Hosil qilingan 2∙ (a+6)ifoda algebraik ifodaga misol bo‘la oladi.
Algebraik ifoda bitta harfdan iborat bo‘lishi ham mumkin.

2. 
   Algebraik ifodaning son qiymati.
   

Agar algebraik ifodaga kirgan harflar o‘rniga biror sonlar qo‘yilsa algebraik ifoda sonli ifodaga aylanadi va ifodada ko‘rsatilgan amallar bajarilsa, chiqqan natija berilgan algebraik ifodaning son qiymati deyiladi. Bunda sonlar ustida amallarning bajarilish tartibi sonli ifodaning son qiymatlarini topishdagi kabi.

Masalan, yuqoridagi 2∙(a+b) algebraik ifodada a = 5 sm, b = 3sm deyilsa, u holda to‘g‘ri to‘rtburchakning perimetri p = 2∙ (5+3)=2∙8=16 (sm) bo‘ladi.

Amal belgilari (+,–, ∙, :) algebrada ham arifmetikadagi kabidir. Ammo algebrada son va harflar orasiga yoki harflar orasiga ko‘paytirish belgisi qo‘yilmaydi. Masalan, 2∙a yozuv 2 sonini a ga ko‘paytirilganini bildiradi. Ammo biz 2∙a o‘rniga 2a deb yozamiz, bunda ham 2 sonini a ga ko‘paytirish lozimligi tushuniladi. Shuningdek, a∙b o‘rniga ab deb yoziladi va hokazo.

Ammo algebraik ifodaning son qiymatini hisoblashda biz sonlar orasiga mos amal belgisini qo‘yishimiz lozim.

Misol. (ab+c)d algebraik ifodaning a = 5, b = 4, c = –3, d = 0,5 bo‘lgandagi son qiymatini hisoblang.

Yechish. Bunda (ab+c)d yozuv, aslida, (a∙b+c) ∙d ekanini hisobga olishimiz kerak. Aks holda harflar o‘rniga ular orasiga ko‘paytirish belgisi “ ∙ ” ni qo‘ymay, tegishli son qiymatlarni yozsak (54+(–3))0,5 degan yozuv paydo bo‘ladi. (ab+c)d ifodada harflar o‘rniga mos son qiymatlarni yozishda sonlar orasiga, agar ular orasida boshqa belgi bo‘lmasa, “ ∙ ” belgisini qo‘yamiz. U holda

(ab+c)d=(5∙4+(–3) ∙0,5=(20 – 3) ∙0,5=17∙0,5=8,5.

Javob: 8,5.

3-mavzu: Algebraik tengliklar, formulalar

1. 
   Algebraik tenglik.
   

Ko‘pgina amaliy masalalarni yechishda sonlarni belgilash uchun harflardan foydalanish qulaydir.

Masalan, agar a va b to‘g‘ri to‘rtburchak tomonlarining uzunliklari bo‘lsa, u holda a∙b – uning yuzi, 2∙(a+b) – uning perimetri. Bu yerda a va b harflari bilan musbat sonlar – to‘g‘ri to‘rtburchak tomonlarining uzunliklari belgilangan. Agar to‘g‘ri to‘rtburchak yuzini s harfi bilan, perimetrini esa p bilan belgilasak, u holda quyidagi formulalarni hosil qilamiz:

s=a∙b, p=2∙(a+ b). (1)

Yozuvni qisqartirish uchun ko‘paytirish belgisi “nuqta” ko‘pincha tushirib qoldiriladi. Masalan, s=ab, p=2(a + b) deb yoziladi.

“=” belgisi bilan birlashtirilgan ikkita algebraik ifoda algebraik tenglik deyiladi.

 

Harflar bilan, shuningdek, tenglamalardagi noma’lum sonlar ham belgilanadi. Masalan:

x+12,3 = 95,1

tenglamadagi noma’lum son x harfi bilan belgilangan,

2y + 3 = 7

tenglamadagi noma’lum son esa у harfi bilan belgilangan.

Arifmetik amallar qonunlari va xossalarini algebraik tengliklar yordamida yozish qulaydir:

a – (b+c)=(a – b – c=a – b – c (2)

(a + b) ∙c = a∙c + b∙c (3)

(a + b):c = a:c + b:c (4)

2. 
   O‘zgaruvchilar
   

Algebraik tenglikda ishtirok etayotgan harflar o‘zgaruvchilar deyiladi.

Algebrada birgina o‘zgaruvchiing o‘zi har xil sonli qiymatlar qabul qilishi mumkin. Jumladan, (2) va (3) tengliklarda a, b, с –ixtiyoriy sonlar; (4) tenglikda esa a, b — istalgan sonlar, lekin с ≠ 0, chunki nolga bo‘lish mumkin emas.

3. 
   Formulalar
   

(1) da to‘g‘ri to‘rtburchak yuzi va perimetrini topish formulalari keltirilgan.

Harflar yordamida juft va toq natural sonlar formulasini yozish mumkin.

Agar a juft son bo‘lsa, u holda bu son 2 ga bo‘linadi va uni bunday yozish mumkin:

a = 2n

bu yerda n — natural son.

Agar b toq son bo‘lsa, u holda uni 2 ga bo‘lgandagi qoldiq 1 ga teng, binobarin, b sonni bunday yozish mumkin:

b = 2n + 1

bu yerda n – natural son yoki nol.

Ba’zan, toq natural sonlar formulasini quyidagicha ham yozishadi:

b = 2k – 1

bu yerda к – natural son.