Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli sistemani ko’raylik. Bunday sistema
{
𝑎11𝑦1 + 𝑎12𝑦2
𝑎21𝑦1 + 𝑎22𝑦2
(24)
sistemaning trivial yechimi 𝑦1 ≡ 0, 𝑦2 ≡ 0 dan iborat bo’lib, holatlar tekisligida koordinatalar boshidan iborat. Bizni shu muvozanat holat atrofida holat trayektoriyalarining ko’rinishi qiziqtiradi. Bu esa |𝐴| = det(𝑎𝑖𝑗) determinantga bog’liq bo’ladi, chunki mos xarakteristik tenglama
|𝑎 11 − 𝑘 𝑎 12
𝑎21 𝑎22 − 𝑘
| = 0 (25)
bo’lib, uning ildizlari 𝑘1, 𝑘2 haqiqiy yoki kompleks bo’lishi mumkin. Eslatib o’tamizki, 𝑎𝑖𝑗lar haqiqiy o’zgarmaslardir.
1-chizma 2-chizma
𝑘1va𝑘2 haqiqiy, har xil va noldan farqli.
𝑘1va𝑘2 lar bir xil ishoraga ega. Shu holga va umuman, I holga tegishli mulohazalarni (23) sistemani soddaroq ko’rinishga keltirib olib borilsa, qulay bo’ladi. Eslatilgan I holda o’zgaruvchilarni shunday almashtirish mumkinki, natijada hosil bo’lgan sistema
𝑑𝑧1 = 𝑘 𝑧
ko’rinishga keladi. Bundan 𝑧1 = 𝐶1𝑒𝑘1𝑡, 𝑧1 = 𝐶2𝑒𝑘2𝑡. Bu (𝑧1, 𝑧2) tekislikda holat trayektoriyasining parametrik tenglamasidir.
Agar 𝑘1 < 0, 𝑘2 < 0 bo’lib, 𝑘1 > 𝑘2 bo’lsa, trayektoriyalar 1- chizmadagidek bo’ladi; 𝑘1 < 0, 𝑘2 < 0𝑘1 < 𝑘2 bo’lsa, trayektoriyalar 2-
chizmadagidek bo’ladi. Har ikki holda ham hosil bo’lgan rasm
𝑡𝑢𝑟𝑔′𝑢𝑛 𝑡𝑢𝑔𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑠𝑚𝑖 (hamma traektory-lar bo’yicha harakat 𝑡 → +∞ da muvozanat holati tomon yo’nalgan) deyiladi. Agar 𝑘1 > 0, 𝑘2 > 0bo’lsa, biz yana yuqoridagi rasmning o’zigafaqat yo’nalishi teskari bo’lgan holdaega bo’lamiz. Bunday rasm 𝑡𝑢𝑟𝑔′𝑢𝑛𝑚𝑎𝑠 𝑡𝑢𝑔𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑠𝑚𝑖 deyiladi.
𝑘1va𝑘2 lar turli ishoralarga ega. Agar 𝑘2< <𝑘1 tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda biz 𝑒𝑔𝑎𝑟 rasmiga egamiz. Bu 3-chizmada tasvirlangan. 𝑘1 < 0 << 𝑘2 bo’lsa, rasm 4-chizmadagidek bo’ladi.
3-chizma. 4-chizma.
𝑘1va𝑘2 kompleks sonlar. Bu holda shunday almashtirish topiladiki, natijada yangi noma’lumlarga nisbatan
𝑑𝑧1 = 𝑎𝑧 − 𝑏𝑧 ,
𝑑𝑡 1 2
sistema hosil bo’ladi. Yuqorida 𝑘1 = 𝑎 + 𝑖𝑏, 𝑘2 = 𝑎 − 𝑖𝑏 deb qaraldi. (27) sistemaning umumiy yechimini
𝑧 1 = 𝑅𝑒 𝑎𝑡 cos (𝑏𝑡 + 𝛼 ),
{𝑧 2 = 𝑅𝑒 𝑎𝑡 sin (𝑏𝑡 + 𝛼 ) , 𝑅 > 0
(28)
deb yozish mumkin. Bu esa holat trayektoriyalarining parametrik tenglamalaridir.
Holat trayektoriyasining grafigini chizishga doir misollar:
𝑑𝑦1 = 2𝑦 1
1. { 𝑑𝑡
2.{
𝑑𝑦1 = 𝑦
1
𝑑𝑡
2
𝑑𝑦2 = 𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦1 = −2𝑦1
3. { 𝑑𝑡
4.{
𝑑𝑦2 = 2𝑦
2
𝑑𝑡
1
𝑑𝑦1 = −𝑦
𝑑𝑡
5.{
𝑑𝑦2 = −𝑦
2
𝑑𝑡
2
𝑑𝑦1 = 𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦2 = −2𝑦
2
𝑑𝑡
𝑑𝑦1 = −2𝑦 2
6.{ 𝑑𝑡
1
𝑑𝑦2 = −3𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦1 = 2𝑦1 − 𝑦2
7.{ 𝑑𝑡
8.{
𝑑𝑦2 = 𝑦
1
𝑑𝑡
1 2
𝑑𝑦1 = 3𝑦 + 𝑦
𝑑𝑡
1 2
𝑑𝑦2 = 𝑦 + 2𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦1 = −𝑦1 + 2𝑦2
9.{ 𝑑𝑡
1 2
𝑑𝑦2 = 𝑦 + 𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦2 = −2𝑦 + 𝑦
1 2
𝑑𝑡
𝑑𝑦1 = −𝑦 1 + 3𝑦 2
10.{ 𝑑𝑡
1 2
𝑑𝑦2 = −𝑦 + 𝑦
𝑑𝑡
X U L O S A
Bitiruv malakaviy ish ilmiy xarakterda bo’lib, u differensial tenglamalar sistemasini o’rganishga bag’ishlangan. Ushbu bitiruv malakaviy ishda asosan quyidagi mavzularga to’xtalgan:
Differensial tenglamalar sistemasining boshlang’ich tushunchalari o’rganilgan;
Normal sistemaning yechimlari haqida to’xtalgan;
Matritsali differensial tenglamalarni yechimlarini topish usullari;
Avtonom sistemalar qisqacha o’rganilgan;
Sistemaning holatlar tekisligi tekshirilgan;
Ishning har bir bobida misol va masalalar yechib ko’rsatilgan;
Mazkur bitiruv malakaviy ishda to’plangan materiallar yordamida matematika yo’nalishi talabalari differensial tenglamalar sistemasini o’rganishda foydalanishlari mumkin.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:
Понтрягин Л.С. “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, Москва, Наука, 1969
Петровский И.Г. “Лекции по теории обыкновенныx дифференциальныx уравнений”, Москва, Наука 1964
Степанов В.В. “Курс дифференциальныx уравнений”, Москва, Гиз физ. мат. Литературы 1958
Еругин Н.П ва бошкалар. “Курс обыкновенныx дифференциальныx уравнений”, Головне изд. Киев. 1974
Xартман Ф. “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, изд, Москва,“Мир” 1970
Коддингтон Э.А., Левинсон Г. “Теория обыкновенныx дифференциальныx уравнений”, Москва, ИЛ, 1958
Пуанкаре А. “О кривыx опредиляемиx дифференциальными уравнениями” Москва, Л, 1947.
Ляпунов А.М. “Общая задача об устойчивости движения” Собр. Соч.т II изд АНСССР, 1956
Элсьголц Л.Э. “Дифференциальные уравнения и вариационное исчесление” Москва,Наука 1965
Понтрягин Л.С. ДАНСССР т. 174 №6, 1967
ПейовичТ. “Bulletin de la socicte mathematique de France” 53, 1925, 208- 225
Еругин Н.П. “Книга для чтения по общему курсу дифференциальныx уравнений”. Наука И теxника, Минск, 1970
Наймарк М. А. “Линейные дифференциальные оператори” Москва, Наука, 1969
Кори-Ниезов Т.Н. “Танланган асарлар, 4-том. Дифференциал тенгламалар”, УзССР “Фан” нашриети Тошкент 1968
Трикоми Ф. “Дифференциальные уравнения”, изд, “ИЛ” Москва,1962
Четаев Н.Г. “Устойчивост движения”. Гостеxиздат. Москва,1955 17.Малкин И.Г. “Теория устойчивест движения” Москва,Наука, 1966 18.Демидович Б.П. “Лекции по математической теории устойчивости”
Москва,Наука, 1967
Флиппов А.Ф. “О некоторыx вопросаx теории оптималного
регулирования” Вестник Московского университета №2 1959г
Андронов А.А. Витт А.А. Xайкин С.Э “Теории колбаний” в изд 2-е Физматгиз Москва,1955
Курант П. “Уравнения с частними производными” изд-во в “Мир” Москва,1967
Гюнтер Н.М “Интегрирование уравнений первого порядка в частныx производныx” ОНТИ, ГТТИ, 1934
Трикоми Ф. “Лекции по уравнения с частныx производныx” Москва,ИЛ, 1957.
24.Q.B.Boyqo’ziyev “Differensial tenglamalar”, Toshkent “O’qituvchi”-1983
25. M.S.Salohitdinov, G’.N.Nasritdinov, “Oddiy differensial tenglamalar”Toshkent “O’qituvchi”-1982
Do'stlaringiz bilan baham: |