Hasanova Jumagul Alisher qizining

I-BOB. CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING NORMAL SISTEMASI.

Ma’lumki, chiziqli tenglamalar sistemasi ushbu

𝑦^ˊ = 𝐴⁽𝑥⁾𝑦 + 𝑏(𝑥) (1)
vektor-matritsali ko’rinishida yoziladi, bunda A(x) matritsa va b(x) ustun-vektor I intervalda aniqlangan va uzluksiz. (1) tenglama chiziqli bir jinsli bo’lmagan,
𝑦^ˊ = 𝐴⁽𝑥⁾𝑦 (2)
tenglama esa, chiziqli bir jinsli tenglama (vektor-matritsali) deb yuritiladi.

§1.1 Chiziqli bir jinsli vektor-matritsali tenglama.

1. 
   Chiziqli operator va yechimning xossalari. Biz (2) ko’rinishdagi vektor-matritsali tenglamani o’rganamiz. Buning uchun ushbu
   

𝐿^[𝑦^] = ^𝑑𝑦 − 𝐴(𝑥)𝑦

𝑑𝑥
operatorni kiritamiz. Shu operator yordamida (2) tenglama

𝐿^[𝑦^] = 0, (2 )
(1 ) tenglama esa
𝐿^[𝑦^] = 𝑏(𝑥) (3) Ko’rinishda yozish mumkin.

𝐿operatorning ba’zi xossalari bilan tanishamiz.

1⁰. 𝐿^[𝐶𝑦^] = 𝐶𝐿^[𝑦^], 𝐶 =const≠0.
Isbot. Ravshanki,




𝐿^[𝐶𝑦^] = ^𝑑𝐶𝑦 − 𝐴⁽𝑥⁾⁽𝐶𝑦⁾ = 𝐶 ^𝑑𝑦 − 𝐶𝐴⁽𝑥⁾𝑦 = 𝐶 (^𝑑𝑦 − −𝐴⁽𝑥⁾𝑦) = 𝐶 𝑦

𝑑𝑥

.

𝑑𝑥

𝑑𝑥 ¹

2⁰. 𝐿^[𝑦₁ + 𝑦₂^] = 𝐿^[𝑦₁^] + 𝐿^[𝑦₂^].

Isbot. 𝐿operatorning ta’rifiga ko’ra
𝐿^[𝑦₁ + 𝑦₂^] = ^{𝑑 (}𝑦₁ + 𝑦₂⁾ − 𝐴⁽𝑥⁾⁽𝑦₁ + 𝑦₂⁾ = [^𝑑𝑦1 − 𝐴(𝑥)𝑦₁] + [^𝑑𝑦2 −

𝑑𝑥
−𝐴(𝑥)𝑦₂] = 𝐿^[𝑦₁^] + 𝐿^[𝑦₂^].
Bu ikki xossadan quyidagi natija kelib chiqadi:

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑘 𝑘

𝐿 [∑ 𝐶_𝑗𝑦_𝑗] = ∑ 𝐶_𝑗𝐿[𝑦_𝑗]

𝑗=1

𝑗=1

𝐶_𝑗 =const

Haqiqatdan ham,

𝑘 𝑘 𝑘

𝐿 [∑ 𝐶_𝑗𝑦_𝑗] = ∑ 𝐿[𝐶_𝑗𝑦_𝑗] = ∑ 𝐶_𝑗𝐿[𝑦_𝑗]

𝑗=1

𝑗=1

𝑗=1

Endi 𝐿 operatorning bu xossalaridan foydalanib, (2) tenglamaning yechimlari haqida ba’zi tasdiqlarni keltiramiz.

1-teorema. 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑦 = 𝜑⁽𝑥⁾,

𝑥𝜖𝐼 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 (2^ˊ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑏𝑜^′𝑙𝑠𝑎, 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑦 = 𝐶𝜑⁽𝑥⁾,

𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 ℎ𝑎𝑚 𝑠ℎ𝑢 (2^ˊ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑏𝑜^′𝑙𝑎𝑑𝑖.
Isbot. Shartga ko’ra 𝐿^[𝜑(𝑥)^] ≡ 0, 𝑥𝜖𝐼 shuning uchun 1⁰ xossasiga ko’ra

𝐿^[𝐶𝜑(𝑥)^] = 𝐶𝐿^[𝜑(𝑥)^] ≡ 0. Teorema isbot bo’ldi.

2-teorema. 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑦 = 𝜑¹⁽𝑥⁾, 𝑥𝜖𝐼₁ 𝑣𝑎𝑦 =

𝜑²⁽𝑥⁾, 𝑥𝜖𝐼₂ 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟(2^ˊ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑔𝑖𝑠ℎ𝑙𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐

𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑦 = 𝜑¹⁽𝑥⁾ + 𝜑²⁽𝑥⁾ 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 (2^ˊ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐼

= 𝐼₁ ⋂ 𝐼₂ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑏𝑜^′𝑙𝑎𝑑𝑖.

Isbot. 2⁰xossaga ko’ra 𝐼 intervalda quyidagiga egamiz:
𝐿^[𝜑₁⁽𝑥⁾ + 𝜑₂⁽𝑥^)] = 𝐿^[𝜑₁⁽𝑥^)] + 𝐿^[𝜑₂⁽𝑥^)].
Shart bo’yicha 𝐼intervalda 𝐿^[𝜑₁⁽𝑥^)] ≡ 0, 𝐿^[𝜑₂⁽𝑥^)] ≡ 0
ayniyat o’rinli. Shuning uchun 𝐿^[𝜑₁⁽𝑥⁾ + 𝜑₂⁽𝑥^)] ≡ 0 ekani kelib chiqadi.
Natija. 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑦 = 𝜑₁⁽𝑥⁾, 𝑥 𝜖𝐼₁, … . . , 𝑦 =

𝜑_𝑘⁽𝑥⁾, 𝑥 𝜖𝐼_𝑘 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟 (2^ˊ)𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑔𝑖𝑠ℎ𝑙𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟-

𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑜^′𝑙𝑠𝑎, 𝑢

𝑘 𝑘

ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑦 = ∑ 𝐶_𝑗𝜑_𝑗⁽𝑥⁾ , 𝐶_𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 𝐼 = ⋂ 𝐼_𝑗 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎

𝑗=1 𝑗=1
𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚 𝑏𝑜^′𝑙𝑎𝑑𝑖.

Isbot. Haqiqatan,1⁰, 2⁰ xossalarga va 1-2 teoremalarga ko’ra quyidagiga egamiz (𝑥 𝜖𝐼 bo’lganda):

𝑘 𝑘 𝑘

𝐿 [∑ 𝐶_𝑗𝜑_𝑗⁽𝑥⁾] = ∑ 𝐿 [𝐶_𝑗𝜑_𝑗⁽𝑥⁾] = ∑ 𝐶_𝑗𝐿 [𝜑_𝑗⁽𝑥⁾] ≡ 0

𝑗=1

.

𝑗=1

𝑗=1

3- teorema. 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝐴⁽𝑥⁾𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎 ℎ𝑎𝑞𝑖𝑞𝑖𝑦 𝑏𝑜^′𝑙𝑔𝑎𝑛 (2^ˊ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑦 = 𝑢⁽𝑥⁾ +

+𝑖𝑣⁽𝑥⁾, 𝑥 ∈ 𝐼 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑔𝑎 𝑒𝑔𝑎 𝑏𝑜^′𝑙𝑠𝑎,

𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑢⁽𝑥⁾ 𝑣𝑎 𝑣⁽𝑥⁾𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔 ℎ𝑎𝑟 𝑏𝑖𝑟𝑖 ⁽2⁾𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖

𝑏𝑜^′𝑙𝑎𝑑𝑖.
Isbot. Shartga bo’yicha 𝐿^[𝑢⁽𝑥⁾ + 𝑖𝑣⁽𝑥^)] ≡ 0. 2⁰ xossaga ko’ra 𝐿^[𝑢⁽𝑥⁾ +

+𝑖𝑣⁽𝑥^)] = 𝐿^[𝑢⁽𝑥^)] + 𝐿^[𝑖𝑣⁽𝑥^)] ≡ 0.Bundan 𝐿^[𝑢⁽𝑥^)] ≡ 0, 𝐿^[𝑖𝑣⁽𝑥^)] ≡ 0 kelib chiqadi.

2. 
   Vektorlarning chiziqli bog’liqli va erkliligi. Vronskiy determinant. Agar 𝐼
   

intervalda aniqlangan 𝜑₁⁽𝑥⁾, 𝜑₂⁽𝑥⁾, … … , 𝜑_𝑛⁽𝑥⁾ bunda


^𝜑 2𝑗
𝜑_𝑗⁽𝑥⁾ = ( ^𝜑1𝑗 )vektor funksiyalar uchun bir vaqtda nolga teng bo’lmagan

⋮

^𝜑𝑛𝑗

shunday 𝖺₁, 𝖺₂ … … . , 𝖺_𝑛 o’zgarmas sonlar mavjud bo’lsaki, shu sonlar uchun

𝑥 ∈ 𝐼 da 𝖺₁ 𝜑₁ ⁽𝑥⁾ + 𝖺₂ 𝜑₂⁽𝑥⁾ + … … +𝖺_𝑛 𝜑_𝑛⁽𝑥⁾ ≡ 0 (4)

ayniyat o’rinli bo’lsa, u holda berilgan 𝜑₁⁽𝑥⁾, 𝜑₂⁽𝑥⁾, … … , 𝜑_𝑛⁽𝑥⁾ vektor funksiyalar uchun 𝐼 intervalda 𝑐ℎ𝑖𝑧𝑖𝑞𝑙𝑖 𝑏𝑜𝑔′𝑙𝑖𝑞 deyiladi. Agar (4) ayniyat 𝖺₁=

𝖺₂= ⋯ =𝖺_𝑛= 0 bo’lgandagina o’rinli bo’lsa, berilgan 𝜑₁⁽𝑥⁾, 𝜑₂⁽𝑥⁾, … … , 𝜑_𝑛⁽𝑥⁾

vektor funksiyalar 𝐼 intervalda chiziqli erkli deyiladi.

Ravshanki, (4) vektor ayniyat 𝖺₁, 𝖺₂ … … . , 𝖺_𝑛 larga nisbatan 𝑛 ta noma’lumli 𝑛 ta chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat. Uning determinant

𝑊⁽𝑥⁾ = 𝑊^[𝜑₁⁽𝑥⁾, 𝜑₂⁽𝑥⁾, … … , 𝜑_𝑛⁽𝑥^)] deb belgilaymiz. Shunday qilib,

𝜑₁₁(𝑥) … 𝜑_1𝑛(𝑥)


⋮ ⋮
_{𝑊(𝑥) = |}𝜑₂₁(𝑥) … 𝜑_2𝑛(𝑥)_|

𝜑_𝑛1(𝑥) 𝜑_𝑛𝑛(𝑥)

Bu determinant sistema uchun Vronskiy determinanti deyiladi.

4. 
   teorema.
   

𝐴𝑔𝑎𝑟 (2^ˊ) 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎𝑙𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐴⁽𝑥⁾ 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎𝑠𝑖 𝐼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑢𝑧𝑙𝑢𝑘𝑠𝑖𝑧

𝑥₀ 𝑛𝑢𝑞𝑡𝑎𝑠𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑙𝑔𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔 𝑏𝑜^′𝑙𝑠𝑎, 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝜑₁⁽𝑥⁾, 𝜑₂⁽𝑥⁾, … … , 𝜑_𝑛⁽𝑥⁾𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎 0 𝑏𝑜^′𝑙𝑎𝑑𝑖.

Isbot. 𝐴(𝑥)matritsa uzluksiz bo’lgani uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremaning shartlari bajariladi. Jumladan, 𝑦(𝑥₀) = 0 boshlang’ich shart yechimni aniqlaydi. U yechim 𝑦⁽𝑥⁾ ≡ 0 trivial yechimdan iborat. Teorema sharti bo’yicha 𝑊⁽𝑥₀⁾ = 0. Shuning uchun bir vaqtda nolga teng bo’lmagan 𝐶₁, 𝐶₂, … … 𝐶_𝑛 sonlari uchun

𝐶₁𝜑⁽¹⁾⁽𝑥₀⁾ + 𝐶₂𝜑⁽²⁾⁽𝑥₀⁾ + … … + 𝐶_𝑛𝜑^(𝑛)(𝑥₀⁾ ≡ 0

𝑗=1
ayniyat o’rinli. Endi 𝜑⁽𝑥₀⁾ = ^∑𝑛 𝐶_𝑗 𝜑_𝑗⁽𝑥⁾(𝑥) vektor funksiyani ko’raylik.
Avvalo, 𝐿 operatorning xossasiga ko’ra:

𝑗=1
𝐿^[𝜑(𝑥)^] = 𝐿[^∑𝑛

𝐶_𝑗 𝜑^(𝑗)(𝑥)] = ^∑𝑛

𝐶_𝑗 𝐿[𝜑^(𝑗)(𝑥)] ≡ 0,

𝑗=1
ya’ni𝑦 = 𝜑⁽𝑥⁾ vektor funksiya (3^ˊ) tenglamaning yechimidan iborat. So’ngra ,

𝑛

𝜑⁽𝑥₀⁾ = ∑ 𝐶_𝑗 𝜑^(𝑗)(𝑥₀⁾ ≡ 0

𝑗=1

ga egamiz. Shu boshlang’ich shartga ega bo’lgan yechim trivial yechim 𝑦(𝑥) ≡

𝑗=1
0 dan iborat edi, demak, 𝜑⁽𝑥⁾ ≡ 𝑦⁽𝑥⁾. Bundan ^∑𝑛

𝐶_𝑗 𝜑^(𝑗)(𝑥⁾ ≡ 0(^∑𝑛

𝐶² ≠ 0)

𝑗=1

𝑗
ekani, ya’ni 𝜑⁽¹⁾⁽𝑥⁾, 𝜑⁽²⁾⁽𝑥⁾, … … , 𝜑^(𝑛)(𝑥⁾ vektor funksiyalar 𝐼 intervalda chiziqli bog’liq ekani, ya’ni 𝑊(𝑥) ≡ 0 ekani kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.

Misollar. 1. Ushbu

𝜑⁽¹⁾⁽𝑥⁾ = ( ^𝑒𝑥 ), 𝜑⁽²⁾⁽𝑥⁾ = ( ^𝑒2𝑥 )

2𝑒^𝑥

_2𝑒2𝑥

Vektorlar −∞ < 𝑥 < +∞ intervalda chiziqli erkli. Haqiqatdan, bu vektorlar uchun

𝛼₁𝜑⁽¹⁾⁽𝑥⁾ + 𝛼₂𝜑⁽²⁾⁽𝑥⁾ ≡ 0

Yoki

_{𝛼₁𝑒^𝑥 + 2𝛼₂𝑒^𝑥 ≡ 0 2𝛼₁𝑒^𝑥 + 𝛼₂𝑒^𝑥 ≡ 0

ayniyatlar𝛼₁ = 𝛼₂ = 0 bo’lganda o’rinli.

Eslatib o’tamiz, 𝑊[ 𝜑⁽¹⁾⁽𝑥⁾, 𝜑⁽²⁾⁽𝑥⁾] = | ^𝑒𝑥 ^𝑒2𝑥 | = 2𝑒^3𝑥 − 2𝑒^3𝑥 ≡ 0.

2𝑒^𝑥 2𝑒^2𝑥

Xulosa shuki, ko’rilayotgan vektorlar uchun Vronskiy determinant aynan nolga teng, ammo ular chiziqli erkli. Yuqoridagi 4-teoremaga ko’ra bu vektorlar bir vaqtda differensial tenglamaning yechimi bo’la olmaydi.
2. Yechimlarning fundamental sistemasi va umumiy yechim. Berilgan (3^ˊ)

tenglamaning 𝑛 ta chiziqli erkli yechimlari sistemasi mavjud. Haqiqatdan,

1 0 0

𝜑⁽¹⁾⁽𝑥₀⁾ = (⁰), 𝜑⁽²⁾⁽𝑥₀⁾ = (¹) , ⋯ , 𝜑⁽²⁾⁽𝑥₀⁾ = (⁰)

⋮ ⋮ ⋮

0 0 1

boshlang’ich shartlarni qanoatlatiradigan yechimlar chiziqli erkli yechimlar sistemasini tashkil etadi. Bu tasdiqni umumiyroq isbot etamiz.

5. 
   teorema.
   

𝐴𝑔𝑎𝑟 𝜑⁽¹⁾⁽𝑥⁾, 𝜑⁽²⁾⁽𝑥⁾, … … , 𝜑^(𝑛)(𝑥⁾ 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟 𝑢𝑐ℎ𝑢𝑛 𝑊⁽𝑥₀⁾ ≠ 0, 𝑥₀ ∈

𝐼 𝑏𝑜^′𝑙𝑠𝑎, 𝑊⁽𝑥₀⁾ ≠ 0, 𝑥 ∈ 𝐼 bo’ladi.

Isbot. 𝑊(𝑥)determinant ustun bo’yicha hosila olmiz:

11

12
𝜑^{ˊ (}𝑥⁾𝜑₁₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_1𝑛⁽𝑥⁾ 𝜑₁₁⁽𝑥⁾𝜑^{ˊ (}𝑥⁾ … 𝜑_1𝑛⁽𝑥⁾

_𝑊ˊ_{(𝑥) = |}^{𝜑ˊ (𝑥)𝜑22(𝑥) … 𝜑2𝑛(𝑥)}_{| + |}^{𝜑21(𝑥)𝜑ˊ (𝑥) … 𝜑2𝑛(𝑥)}_{| + ⋯ +}

21

… … … … … …

22

𝑛2
… … … … … …

𝑛1
𝜑^{ˊ (}𝑥⁾𝜑_𝑛2⁽𝑥⁾ … 𝜑_𝑛𝑛⁽𝑥⁾


1𝑛
𝜑₁₁⁽𝑥⁾𝜑₁₂⁽𝑥⁾ … 𝜑^{ˊ (}𝑥⁾

𝜑_𝑛1⁽𝑥⁾𝜑^{ˊ (}𝑥⁾ … 𝜑_𝑛𝑛⁽𝑥⁾

𝑛


2


1

+ _|^{𝜑21(𝑥)𝜑22(𝑥) … 𝜑}ˊ ^(𝑥)_| = 𝑊 ⁽𝑥⁾ + 𝑊 ⁽𝑥⁾ + ⋯ + 𝑊 (𝑥).

2𝑛

… … … … … …

𝑛𝑛
𝜑_𝑛1⁽𝑥⁾𝜑_𝑛2⁽𝑥⁾ … 𝜑^{ˊ (}𝑥⁾
Bundan ko’rinadiki, 𝑊^ˊ(𝑥⁾ hosila 𝑛 ta determinant yig’indidan iborat.

Ulardan birinchisini olamiz. Unda 𝜑^{ˊ (}𝑥⁾, 𝜑^{ˊ (}𝑥⁾, … , 𝜑^{ˊ (}𝑥⁾ hosilalarni tegishli

ifodalari orqali ifodalaymiz:

11 21

𝑛1

11
𝜑^{ˊ (}𝑥⁾𝜑₁₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_1𝑛⁽𝑥⁾

_{𝑊 (𝑥) = |}𝜑^{ˊ (}𝑥⁾𝜑₂₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_2𝑛⁽𝑥⁾_{| =}

₁ 21

… … … … … …

𝑛1
𝜑^{ˊ (}𝑥⁾𝜑_𝑛2⁽𝑥⁾ … 𝜑_𝑛𝑛⁽𝑥⁾

𝑎₁₁𝜑₁₁⁽𝑥⁾ + 𝑎₁₂𝜑₁₂⁽𝑥⁾ + … +𝑎_1𝑛𝜑_1𝑛⁽𝑥⁾𝜑₁₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_1𝑛⁽𝑥⁾

_{= |} 𝑎₁₁𝜑₂₁⁽𝑥⁾ + 𝑎₁₂𝜑₂₂⁽𝑥⁾ + … + 𝑎_1𝑛𝜑_2𝑛⁽𝑥⁾𝜑₂₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_2𝑛⁽𝑥⁾ _{| =}

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

𝑎₁₁𝜑_𝑛1⁽𝑥⁾ + 𝑎₁₂𝜑_𝑛2⁽𝑥⁾ + ⋯ + 𝑎_1𝑛𝜑_𝑛𝑛⁽𝑥⁾𝜑_𝑛2⁽𝑥⁾ … 𝜑_𝑛𝑛⁽𝑥⁾

𝜑₁₁⁽𝑥⁾𝜑₁₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_1𝑛⁽𝑥⁾


11
_{= 𝑎 |}𝜑₂₁⁽𝑥⁾𝜑₂₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_2𝑛⁽𝑥⁾_{| +}

… … … … … …

𝜑_𝑛1⁽𝑥⁾𝜑_𝑛2⁽𝑥⁾ … 𝜑_𝑛𝑛⁽𝑥⁾
𝜑₁₂⁽𝑥⁾𝜑₁₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_1𝑛⁽𝑥⁾


12
_{+𝑎 |}𝜑₂₂⁽𝑥⁾𝜑₂₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_2𝑛⁽𝑥⁾_{| + ⋯ +}

… … … … … …

𝜑_𝑛2⁽𝑥⁾𝜑_𝑛2⁽𝑥⁾ … 𝜑_𝑛𝑛⁽𝑥⁾
𝜑_1𝑛⁽𝑥⁾𝜑₁₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_1𝑛⁽𝑥⁾


1𝑛
_{+𝑎 |}𝜑_2𝑛⁽𝑥⁾𝜑₂₂⁽𝑥⁾ … 𝜑_2𝑛⁽𝑥⁾_{| =}

… … … … … …

𝜑_𝑛𝑛⁽𝑥⁾𝜑_𝑛2⁽𝑥⁾ … 𝜑_𝑛𝑛⁽𝑥⁾
= 𝑎₁₁𝑊⁽𝑥⁾ + 𝑎₁₂ ∙ 0 + ⋯ + 𝑎_1𝑛 ∙ 0 = 𝑎₁₁𝑊(𝑥).
Shunday qilib, 𝑊₁⁽𝑥⁾ = 𝑎₁₁𝑊⁽𝑥⁾. Shunga o’xshash ushbu 𝑊₂⁽𝑥⁾ =

𝑎₂₂𝑊⁽𝑥⁾, … , 𝑊_𝑛⁽𝑥⁾ = 𝑎_𝑛𝑛𝑊⁽𝑥⁾ formulalarni ham isbotlash mumkin. Demak, biz

𝑊^ˊ(𝑥⁾ = ⁽𝑎₁₁ + 𝑎₂₂ + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛⁾𝑊(𝑥)formulaga egamiz. Uni 𝑊(𝑥) ga nisbatan o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama kabi (𝑥₀ dan 𝑥 gacha) integrallasak,

∫ ^(𝑎₁₁^{+ …+𝑎 )𝑑𝑥}_𝑛
𝑥

𝑊⁽𝑥⁾ = 𝑊(𝑥₀)𝑒 ^𝑥0 (6)

formulaga kelamiz. Bundan 𝑊(𝑥₀) ≠ 0bo’lganda 𝑊(𝑥) ≠ 0, 𝑥 ∈ 𝐼 ekni kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.

Agar

𝑛

∑ 𝑎_𝑗⁽𝑥⁾ = 𝑆𝑝𝐴⁽𝑥⁾

𝑗=1

(𝑆𝑝𝐴⁽𝑥⁾ berilgan 𝐴(𝑥) matrisaning bosh diagonal elementlarining yig’indisini anglatib, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑧𝑖 deb ataladi deb belgilasak,

∫ ^{𝑆𝑝𝐴(𝑥)𝑑𝑥}
𝑥

𝑊⁽𝑥⁾ = 𝑊(𝑥₀)𝑒 ^𝑥0 (7)

formulaga ega bo’lamiz. Uni sistema uchun 𝑂𝑠𝑡𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑑𝑠𝑘𝑖𝑦 − 𝐿𝑖𝑢𝑣𝑖𝑙𝑙 formulasi deyiladi.
Ravshanki (2^ˊ) tenglama ixtiyoriy 𝑛 + 1 ta yechimi chiziqli bog’liq. Buni ko’rsatish uchun ixtiyoriy yechim berilgan chiziqli erkli yechimlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali yozilishi mumkinligini ko’rsatish yetarli. Boshqacha aytganda, berilgan yechimdan iborat vektor qolgan chiziqli erkli vektor yechimlar bo’yicha yoyilishi mumkinligini ko’rsatish yetarli. Bu quyidagi teoremada isbotlangan.

5. 
   teorema.
   

𝐴𝑔𝑎𝑟 𝜑⁽¹⁾⁽𝑥⁾, 𝜑⁽²⁾⁽𝑥⁾, … … , 𝜑^(𝑛)(𝑥⁾ 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟 𝐼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎
𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑐ℎ𝑖𝑧𝑖𝑞𝑙𝑖 𝑒𝑟𝑘𝑙𝑖 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑜^′𝑙𝑠𝑎, 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑞𝑎𝑟𝑎𝑙𝑎𝑦𝑜𝑡𝑔𝑎𝑛 (2^ˊ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑥𝑡𝑖𝑦𝑜𝑟𝑖𝑦 𝜑⁽𝑥⁾𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑞𝑢𝑦𝑖𝑑𝑎𝑔𝑖

𝜑⁽𝑥⁾ = 𝐶₁𝜑⁽¹⁾⁽𝑥⁾ + 𝐶₂𝜑⁽²⁾⁽𝑥⁾ + … … + 𝐶_𝑛𝜑^(𝑛)(𝑥⁾ (8)

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛 ⁽𝐶₁, 𝐶₂, … … , 𝐶_𝑛𝑜^′𝑧𝑔𝑎𝑟𝑚𝑎𝑠𝑙𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔𝑦𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎 𝑞𝑖𝑦𝑚𝑎𝑡𝑖 𝑢𝑐ℎ𝑢𝑛⁾𝑦𝑜𝑧𝑖𝑙𝑑𝑖.

Isbot. Agar 𝜑⁽¹⁾⁽𝑥₀⁾ = 𝜑⁽¹⁾, … … , 𝜑^(𝑛)(𝑥₀⁾ = 0, 𝜑^(𝑛)va𝜑(𝑥₀) = 𝜑₀

0 0

boshlang’ich shartlar berilgan bo’lsa, (8) formulada 𝑥 = 𝑥₀ deb 𝐶₁, 𝐶₂, … … , 𝐶_𝑛 larga nisbatan chiziqli sistema hosil qilamiz. Agar 𝜑⁽𝑥⁾ ≡ 0, 𝜑₀ = 0 bo’lsa, bir jinsli

𝑛 𝑛


0
∑ 𝐶_𝑗 𝜑_𝑗⁽𝑥₀⁾ = ∑ 𝐶_𝑗 𝜑^(𝑗) = 0

𝑗=1 𝑗=1
sistemadan𝑊(𝑥₀) ≠ 0 bo’lgani uchun 𝐶₁ = … … = 𝐶_𝑛 = 0 kelib chiqadi. Agar

𝜑(𝑥) ≠ 0 bo’lsa, 𝜑₀ ≠ 0 bo’lgani uchun bir jinsli bo’lmagan
𝑛


0
∑ 𝐶_𝑗 𝜑^(𝑗) = 𝜑₀

𝑗=1
sistemadan (𝑊(𝑥₀) ≠ 0 bo’lgani uchun) 𝐶₁, 𝐶₂, … … , 𝐶_𝑛 larning yagona qiymatlarini topamiz. Demak, (8) yoyilma koeffitsiyentlari yagona. Teorema isbot bo’ldi.

(8) yoyilma ixtiyoriy 𝜑(𝑥) yechim uchun yozilishi mumkin. Shuning uchun

(8) formula 𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 deb yuritiladi.

Shunday qilib (2^ˊ) tenglama chiziqli erkli yechimlarining soni aniq 𝑛 ta ekan. Shu chiziqli erkli yechimlar sistemasini

𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠𝑖 deyiladi.

Yuqorida isbotlangan (7) teoremaga ko’ra berilgan fundamental sistema bo’yicha umumiy yechimni yozish mumkin. Demak, (2^ˊ) chiziqli bir jinsli sistemaning umumiy yechimini topish masalasi uning fundamental sistemasini topishdan iborat.

Misollar. 1. Ushbu

1

{
𝑦^ˊ = 𝑦₂

ˊ

𝑦₂ = −𝑦₁

sistemani integrallang.
Yechish. Yuqorida ko’rilishi bo’yicha 𝜑⁽¹⁾⁽𝑥⁾ = (^{sin 𝑥}), 𝜑⁽²⁾⁽𝑥⁾ =

cos 𝑥

−sin 𝑥
( ^{cos 𝑥} ) vektor funksiyalar berilgan sistemaning yechimi va hatto ular chizqli erkli. Demak, ular fundamental sistemani tashkil etadi. Umumiy yechim

𝑦 = 𝐶₁ ( ^{cos 𝑥} ) + 𝐶₂ (^{sin 𝑥})

−sin 𝑥

cos 𝑥

Ko’rinishda yoziladi.

2. Ushbu
𝑑𝑦_{1 = 𝑦}

+ 2𝑦

_{{ 𝑑𝑥} 1 2


^𝑑𝑦2 = 2𝑦 + 𝑦

_𝑑𝑥 1 2
sistemani integrallang.
Yechish. Tekshirib ko’rish mumkinki, 𝜑⁽¹⁾⁽𝑥⁾ = (^𝑒3𝑥),

_𝑒3𝑥

𝜑⁽²⁾⁽𝑥⁾ = ( ^𝑒−𝑥

_−𝑒−𝑥

)vektor funsiyalar sistema uchun yechimlardan iborat. Bu vektor

funksiyalar fundamental sistemani tashkil etadi. Haqiqatdan,

𝑊[𝜑⁽¹⁾, 𝜑⁽²⁾] = |^𝑒3𝑥 ^𝑒−𝑥

_𝑒3𝑥 _−𝑒−𝑥

| = −𝑒^2𝑥 − 𝑒^2𝑥 = −2𝑒^2𝑥 ≠ 0.

Shunday qilib, umumiy yechim

𝑦 = 𝐶

(^𝑒3𝑥) + 𝐶

_{( 𝑒}−𝑥 ₎

¹ _𝑒3𝑥 ¹ _−𝑒^−𝑥
ko’rinishda yoziladi.