Handbook of Photovoltaic Science and Engineering

j
n
=
f
BE
c
/(U n
r
)
;
j
e
=
ε
j
n
f
BE
c
/(U n
r
)
;
j
ω
=
Ω
c
/(U n
r
)
(
4
.
15
)
where
c
is the light velocity (a vector since it includes its direction) in the vacuum and
n
r
is the index of refraction of the medium in which the photons propagate, which is
assumed to be independent of the direction of propagation. Thus,
c
/n
r
is the velocity of
the photons in the medium.
The number of photon modes with energy between
ε
and
ε
+
d
ε
is
8
π U n
3
r
ε
2
/(h
3
c
2
)
d
ε
. When the modes with energies
ε
m
< ε < ε
M
are taken into account,
the total grand canonical potential of the photons,
Ω
ph
, associated with these modes is
the sum of the contributions from each mode and can be written as
Ω
ph
(U, T , µ)
=
8
π U n
3
r
h
3
c
3
ε
M
ε
m
ε
2
kT
ln
(
1
−
e
(µ
−
ε)/ kT
)
d
ε
(
4
.
16
)
where
h
is the Planck’s constant.
Photons do not interact among themselves, such that temperatures and chemical
potentials can be different for each mode. This means that they can be a function of the
energy and of the direction of propagation. In the non-equilibrium case they can also be a

---

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THEORETICAL LIMITS OF PHOTOVOLTAIC CONVERSION
function of the position. If we only take into account the photons’ propagation in a small
solid angle d

, the grand potential in equation (4.16) must be multiplied by d
 /
4
π
. The
same coefficient affects other thermodynamic variables of the radiation.
The flux of a thermodynamic variable
X
of the radiation through a surface
A
with
a solid angle

is then given by
˙
X
=
A
i