Handbook of Photovoltaic Science and Engineering

r
,
v
i
)
=
σ
irr
(
r
)
≥
0
(
4
.
10
)
4.2.3 Local Entropy Production
It is illustrative to have a look at the sources for entropy production. Using equation (4.2)
in the basic thermodynamic relationship of equation (4.1), we obtain an interesting rela-
tionship between thermodynamic variables per unity of volume:
d
s
=
1
T
d
e
−
µ
T
d
n
(
4
.
11
)
If this relationship and equation (4.5) are substituted in equation (4.8), we find that
σ
=
1
T
∂e
∂t
−
µ
T
∂n
∂t
+ ∇ ·
1
T
j
e
−
1
T
j
w
−
µ
T
j
n
(
4
.
12
)
Introducing equations (4.6) and (4.7) in (4.12) and after some mathematical handling we
obtain that [8]
σ
=
1
T
υ
+
j
e
∇
1
T
−
µ
T
g
−
j
n
∇
µ
T
+ ∇ ·
−
1
T
j
ω
(
4
.
13
)
where “
∇
” is the gradient operator.
4
This is an important equation allowing us to identify
the possible sources of entropy generation in a given subsystem. It contains terms involv-
ing energy generation (from another subsystem:
υ
) and transfer (from the surroundings:
3
The linear unbounded operator “
∇·
” applied to the vector
A
.
=
(A
x
, A
y
, A
z
)
is defined as
∇ ·
A
=
∂A
x
∂x
+
∂A
y
∂y
+
∂A
z
∂z
.
4
The gradient operator, “
∇
,” (without being followed by a dot) is a linear unbounded operator whose actuation
on a scalar field
f (x, y, z)
is defined as
∇
f
=
∂f
∂x
e
1
+
∂f
∂y
e
2
+
∂f
∂z
e
3
where
e
1
,
e
2
,
e
3
are the orthonormal
basis vectors of the Cartesian framework being used as reference.

---

THERMODYNAMIC BACKGROUND
117
j
e
∇
1
/T
), free energy (
µg
) generation, Joule effect (
j
n
∇
µ
) and expansion of the volume
that contains the particles (
∇
j
ω
/T
). This equation is very important and will be used to
prove the thermodynamic consistence of solar cells.
4.2.4 An Integral View
Fluxes,
˙
X
, of the thermodynamic currents,
j
x
, will be frequently used in this paper. In this
text, they will be also called
thermodynamic variable rates
. By definition, the following
relationship exists:
˙
X
.
=
A
i
j
x
d
A
(
4
.
14
)
where the sum refers to the different subsystems with different velocities to be found at
a given position.
A
is the surface through which the flux is calculated. Actually,
j
x
d
A
represents the scalar product of the current density vector
j
x
and the oriented surface
element d
A
(orientation is arbitrary and if a relevant volume exists the orientation selected
leads to the definition of
escaping
or
entering
rates).
4.2.5 Thermodynamic Functions of Radiation
The number of photons in a given mode of radiation is given [9] by the well-known
Bose–Einstein factor
f
BE
= {
exp[
(ε
−
µ)/kT
]
−
1
}
−
1
, which through equation (4.3) is
related to the grand canonical potential
Ω
=
kT
ln
{
exp[
(µ
−
ε)/kT
]
−
1
}
. In these
equations, most of the symbols have been defined earlier:
ε
is the photon energy in
the mode and
k
is the Boltzman constant. The corresponding thermodynamic current
densities for these photons are