Guruh fan: Algebra va matematik analiz asoslari

Ba’zi muhum tengsizliklar.

1. 
   Istalgan a va b haqiqiy sonlar uchun
   

tengsizlik bajariladi, yani ikkita haqiqiy son yig’indisining absolyut qiymati bu sonlar absolyut qiymatlari yig’indisidan ortiq emas.
Istalgan chekli sondagi qo’shiluvchilar uchun

tengsizlikning o’rinliligi matematik induksiya usulida isbotlanishi mumkin. Bunda barcha qo’shiluvchilar bir xil ishorali bo’lgan hold ava faqat shundagina tenglikka erishadi.

2. 
   Istalgan a va b hqaiqiy sonlar uchun
   

Tengsizlik bajariladi, yani ikki son ayirmasining absolyut qiymati bu sonlar absolyut qiymatlari ayitmasining absilyut qiymatidan kichik emas.

3. 
   Istalgan ikkita a va b haqiqiy sonlari uchun
   

tengsizlik bajariladi, shu bilan birga tenglik bo’lganda va faqat shunday bo’lgandagina o’rinli bo’ladi.

4. 
   Agar a va b bir xil ishorali haqiqiy sonlar bo’lsa (ab>0), u holda
   

bunda tenglik a=b bo’lganda va faqat shundagina o’rinli bo’ladi.

5. 
   Koshi tengsizligi: agar a va b nomanfiy haqiqiy sonlar bo’lsa, u holda
   

yani ikkita nomanfiy sonning o’rta arifmetigi ularning o’rta geometrigidan kichik emas.
Shunga o’xshash tengsizlik nomanfiy sonlarning istalgan chekli nabori uchun ham o’rinlidir:

Ya’ni n ta nomanfiy sonning o’rta arifmetigi ularning o’rta geometrigidan kichik emas; n ta son o’zaro teng bo’lgandagina tenglikka erishadi.

6. 
   Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi: Istalgan , haqiqiy sonlar uchun tengsizlik bajariladi. va sonlar proportsional bo’lgandagina, ya’ni bo’ladigan shunday va sonlari mavjud bo’lganda barcha
   

lar uchun tenglik bajariladi.

7. 
   Bir necha sonning o’rta arifmetigi va o’rta kvadrati orasida bo’g’lanish: istalgan chekli sondagi haqiqiy sonlar o’rta arifmetigining absolyut qiymati bu sonlarning o’rta kvadratidan ortiq emas, ya’ni:
   

Bunda n ta sonning hammasi o’zaro teng bo’lganda ba faqat shundagina tenglikka erishiladi.

8. 
   Gyolder tengsizligi: (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligining umumlashmasi):
   

Istalgan , haqiqiy sonlar uchun istalgan p>1 da bu yerda
Gyolder tengsizligi p=2 bo’lganda Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga aylanadi.