Guruh fan: Algebra va matematik analiz asoslari

19-mavzu: tengsizliklarning umumiy xossalari. Bevosita isbotlash usuli. Tengsizlikni kuchaytirish.
Tengsizliklarning ta’riflari va asosiy xossalari:
Tengsizliklar deb,

ko’rinishidagi ifodalarga aytiladi. Bu yerda a va b sonlar yoki funksiyalar bo’lishi mumkin. simvollar tengsizlik belgilari deb ataladi va mos ravishda bunday o’qiladi:
kichik (kichik yoki teng) , katta (katta yoki teng).
< va > belgilari yordamida yoziladigan tengsizliklar qat’iy tengsizliklar, yozuvlarida belgilari ishtirok etadigan tengsizliklar esa noqatiy tengsizliklar deb ataladi.
Ikki turdagi tengsizliklar bir-biridan farq qilinadi: yozuvida faqat sonlar ishtirok etadigan arifmetik (yoki sonli) tengsizliklar va yozuvida sonlar bilan bir qatorda harflar bir yoki bir necha o’zgaruvchining funksiyalari ham ishtirok etadigan noarifmetik tengsizliklar.
Masalan: sonli tengsizliklardir.
Masalan: tengsizliklar noarifmetik tengsizliklardir.
Tengsizlikkka kiradigan funksiyalar o’z argumentlarining turli qiymatlariga muvofiq ravishda turli son qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Argumentning bir qiymatlarida tengsizlik to’g’ri sonli tengsizlikka aylanishi, boshqa qiymatlarida esa aylanmasligi mumkin.
Tengsizliklarning asosiy xossalari:

1. 
   Agar aa bo’ladi.
   

Agar a>b bo’lsa, u holda b

2. 
   Agar a>b va b>c bo’lsa, u holda a>c
   

Agar aTengsizliklar ustida arifmetik amallar:

1. 
   Bir xil ishorali ikki tengsizliklarni qo’shish mumkin; bunda qo’shish natijasida o’shanday ishorali tengsizlik hosil bo’ladi:
   

Agar a>b va c>d bo’lsa, u holda a+c>b+d
Agar a

2. 
   Agar tengsizlikning ikkala qismi bir xil musbat kattalikka ko’paytirsa (bo’linsa) , u holda o’sha ishorali tengsizlik hosil bo’ladi; agar tengsizlikning ikkala qismi bir xil manfiy kattalikka ko’paytirsa (bo’linsa), u holda qarama-qarshi ishorali tengsizlik hosil bo’ladi:
   

Agar a>b va c>0 bo’lsa , u holda ac>bc bo’ladi;
Agar a0 bo’lsa , u holda acAgar a>b va c<0 bo’lsa , u holda acAgar abc bo’ladi;

3. 
   Tengsizliklarni qo’shish va tengsizliklarnig ikkala qismini bir xil kattaliklarga ko’paytirish qoidalarining natijasi sifatida turli ishorali tengsizliklarni ayirish qoidasi kelib chiqadi.
   

Bir tengsizlikdan qarama qarshi ishorali ikkinchi tengsizlikni hadma-had (yani chap qismidan chap qismini, o’ng qismidan o’ng qismini )ayirish mumkin. Natijada birinchi tengsizlik ishorasiga ega bo’lgan tengsizlik hosil bo’ladi:
Agar ad bo’lsa , u holda a-cAgar a>b va cb-d bo’ladi;

4. 
   Agar tengsizlikning chap va o’ng qismlariga ayni bir xil kattalik qo’shilsa, u holda natijada o’sha ishorali tengsizlik hasil bo’ladi:
   

Agar a>b bo’lsa, u holda a+c>b+c