Gruppalar gomomorfizmi va izomorfizmi Ta’rif


Teorema 2. Aytaylik f G gruppaning G1 ga akslantiruvchi gomorfizmi bo’lsin. U holda f bir qiymatli ker f={e}. Isbot



Download 72,26 Kb.
bet3/3
Sana08.02.2022
Hajmi72,26 Kb.
#437792
1   2   3
Bog'liq
14-maruza

Teorema 2. Aytaylik f G gruppaning G1 ga akslantiruvchi gomorfizmi bo’lsin. U holda f bir qiymatli <=> ker f={e}.
Isbot. f ni bir qiymatli deb olamiz. Aytaylik a ker f. Keyinchalik f(a)=e1=f(e). Bundan f bir qiymatli ekanligidan a=e. Bundan ker f={e}. Aksincha ker f={e} deb olsak, a,b G. Endi esa f(a)=f(b). Bundan
f(ab-1)=f(a)f(b-1)=f(a)f(b)-1=e1.
Bundan ab-1 ker f={e} va shuningdek ab-1=e, misol uchun, a=b. Bu esa f ni bir qiymatli ekanligini isbotlaydi.
Teorema 3. Aytaylik f G gruppaning G1 ga akslantiruvchi gomorfizm bo’lsin. U holda ker f G ning normal qism gruppasi bo’ladi.
Isbot. e ker f dan ker f. Aytaylik a,b ker f bo’lsin. Bundan f(ab-1)=f(a)f(b-1)=f(a)f(b)-1=e1(e1)-1=e1e1=e1. Bundan esa ab-1 ker f va bundan ker f G ning qism gruppasi. Aytaylik a G va h ker f. f(aha-1)=f(a)f(h)f(a-1)=f(a)f(h)f(a)-1=f(a)e1f(a)-1=e1. Shuning uchun aha-1 ker f. Bu esa a ker fa-1 ker f. Bundan, ker f G ning normal qism gruppasi bo’ladi.
Teorema 4. Aytaylik H G ning normal qism gruppasi bo’lsin. G ni G/H faktor gruppaga akslantiruvchi akslantirishni quyidagicha olamiz: a G uchun g(a)=aH. U holda g syurektiv gomomorfizm va ker g=H bo’ladi(bu gomomorfizm tabiiy gomomorfizm deyiladi).
Isbot. Aytaylik a,b G bo’lsin. Bundan g(ab)=abH=(aH)(bH)=g(a)g(b). Demak g gomomorfizm. a ker g <=> g(a)=eH <=> aH=eH <=> e-1a H <=> a H. Bundan ker g=H.
Ta’rif. f G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi gomomorfizm bo’lsin. Agar f bieksiya bo’lsa, f izoforfizm hamda G va G1 gruppalar izomorf gruppalar deyiladi. G gruppani o’zini o’ziga akslantiruvchi izomorfizm avtomorfizm deyiladi.
Teorema 5. Aytaylik f G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi izomorfizm bo’lsin. U holda quyidagilar o’rinli:

  1. f-1:G1 G ham izomorfizm.

  2. G kommutativ <=> G1 kommutativ.

  3. Barcha a G uchun, (a)= (f(a)).

  4. G siklik <=> G1 siklik.

Teorema 6. Barcha tartibi n ga teng siklik gruppalar (Zn,+n) gruppaga va barcha cheksiz siklik gruppalar (Z,+) gruppaga izomorfdir.
Isbot. Aytaylik G=(,*) tartibi n ga teng siklik gruppa bo’lsin. f:G Zn funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: barcha ai G lar uchun f(ai)=[i] o’rinli. Endi esa ai=aj <=> aj-e=e <=> n|(j-e) <=>[i]=[j] <=>f(ai)=f(aj). Bundan f ni bir qiymatli ekan. f(aiaj)=f(ai+j)=[i+j]=[i]+n[j]=f(ai)+nf(aj). Bundan f bir qiymatli va G hamda Zn lar elementlari soni teng. Demak f izomorfizm.
Aytaylik G=
cheksiz siklik gruppa. f:G Z akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz: barcha i Z uchun f(ai)=i o’rinli. Bundan ai=aj <=> ai-j=e <=> i-j=0 <=> i=j, va bizda f bir qiymatli funkisiyaning G dan Z ga akslantirilishi mavjud. Demak bu gruppalar izomorf.
Download 72,26 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish