Gruppalar gomomorfizmi va izomorfizmi Ta’rif

Teorema 1. _{f G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi gomomorfizm bo’lsin. U holda}

1. 
   _fe=e1.
   
2. 
   _{a G bo’lganda f(a-1)= f(a-1).}
   
3. 
   _{Agar H G gruppaning qism gruppasi bo’lsa, f(H)={f(h)|h H} G1 ning qism gruppasi.}
   
4. 
   _{Agar H1 G1 gruppaning qism gruppasi bo’lsa, f-1(H1)={g G|f(g) H1} ham G ning qism gruppasi.}
   
5. 
   _{Agar G kommutativ bo’lsa, f(G) ham kommutativ.}
   
6. 
   _{Agar a G (a)=n bo’lsa, n (f(a)) ga bo’linadi.}
   

_{Isbot. i)f gomomorfizm bo’lsa, f(e)f(e)=f(ee)=f(e)=f(e)e1. Bekor qilish qonuni orqali f(e)=e1 ifodalanadi.
ii) a G bo’lganda f(a)f(a-1)=f(aa-1)=f(e)=e1 va f(a-1)f(a)=e1. Shundan f(a) f(a-1)=f(a)-1 ning akslantiruvchisi bo’ladi.
iii) H gruppa G ning qism gruppasi bo’lsin. Bundan e H va f(e)=e1. Bundan esa e1=f(e) f(H) va shuningdek, f(H)≠ . Aytaylik f(a),f(b) f(H) bo’lsin. U holda a,b H. H qism gruppa ekanligidan, ab-1 H. Bundan f(a)f(b)-1=f(a)f(b-1)=f(ab-1) f(H). Yuqoridagi teoremaga ko’ra f(H) gruppa G gruppaning qism gruppasi.
iv) e f-1(H1) va shuningdek f-1(H1)≠ bo’lsin. Aytaylik a,b f-1(H1). So’ng esa f(a),f(b) H1. Bundan, yuqoridagi teoremaga ko’ra, f-1(H1) G ning qism gruppasi. H1 esa G1 gruppaning normal qism gruppasi. Aytaylik g G. Bundan gf-1(H1)g-1 f-1(H1). Bundan f-1(H1) G ning qism gruppasi.
Endi f(a) = f(gbg-1) = f(g)f(b)f(g-1) = f(g)f(b)f(g)-1 H1 va bundan shu aniqlandiki gf-1(H1)g-1 f-1(H1), natijada f-1(H1) G ning qism gruppasi bo’ladi.
v) G ni kommutativ deb olamiz. Aytaylik f(a),f(b) f(G). Bundan f(a)f(b)=f(ab)=f(ba)=f(b)f(a). Shunday qilib f(G) kommutativ.
vi) (f(a))n=f(an)=f(e)=e1 dan biz (f(a)) ni yuqoridagi teoremaga ko’ra n ga bo’lamiz.
Ta’rif. Aytaylik f G ning G1 gruppaga akslantiruvchi gomorfizmi bo’lsin.
Ker f ={a G|f(a)=e1} to’plam f gomomorfizmning yadrosi deyiladi.
Misol. f funksiyani barcha a Z uchun (Z,+) dan f(a)=[a] yordamida (Zn+n) ga belgilaymiz. f ning isbotiga ko’ra, f Z dan Zn ga intiladi. Aytaylik a,b Z. So’ng esa
f(a+b)=[a+b]=[a]+n[b]=f(a)+nf(b) hosil qilamiz.
Bundan, f Z ning Zn ga yo’nalgan gomorfizmi. Endi esa
f yadro={a Z|f(a)=[0]}
={a Z|[a]=[0]}
={a Z| a n ga bo’linadi}
={a Z|a=qn qandaydir q Z}
={qn|q Z}}