Gruppa tushunchasi

2-teorema. (4) tenglik bajarilgan holda
(5)
Darajalar bir xil bo`lib , istalgan butun daraja (5) darajalarning biriga tengdir.
Isbot. (5) darajalardan qandaydir ikkitasi teng deylik:
, ( )
bundan = kelib chiqadi; bo`lganligi sababli tenglik bajarila olmaydi.
Demak (5) darajalar har xildir.
Endi (6)
tenglikka asosan ushbuga ega bo`lamiz: bu yerda daraja xuddi (5) larning biriga tengdir.
3-teorema. (4) tenglik bajarilishi bilan birga yana butun daraja ni qanoatlantirishi uchun son ga bo`linishi zarur va yetarli.
Isbot. 1. son ga bo`linsa , bo`lib, demak, kelib chiqadi.
2. Aksincha , desak , 2-teoremaga ko`ra ga ega bo`lamiz. Bu yerda ekanligini nazarda tutsak, shartda ning bajarilishi mumkin emasligini ko`ramiz. Shu sababli bo`lib , (6) dan kelib chiqadi, ya`ni son ga bo`linadi.
Shunday qilib , qaralayotgan birinchi xolda (1) ning har xil elementlari faqat ta, ya`ni (5) elementlardangina iborat bo`lib, siklik gruppa
=
ko`rinishni oladi. Demak siklik gruppa chekli tartibli gruppani tasvirlaydi.
2-xol. (1) elementlar har xil . Bu xolda son noldan farqli bo`lsa, daraja uchun tenglik bajarilmaydi, chunki aks xolda (1) darajalarning ikkitasi bir-biriga teng bo`lib qoladi. Bundan kelib chiqadiki , gruppa cheksiz siklik gruppa bo`ladi.
Tarif. shartni qanoatlantiruvchi musbat ko`rsatkichlar orasida ebg kichigi bo`lgan son elementning tartibi deyiladi.
Bu xolda chekli tartibli ( tartibli) element deyiladi.
Xech qanday natural son va element uchun shart bajarilmasa, ni cheksiz tartibli element deb atash qabul qilingan.
Yuqoridagi muloxazalardan bunday xulosa kelib chiqadi: chekli tartibli element tomonidan chekli tartibli siklik gruppa vujudga keltiriladi. Cheksiz tartibli element esa cheksiz tartibli siklik gruppani vujudga keltiradi.
Chekli gruppaning hamma elementlari chekli tartiblidir, cheksiz gruppaning elementlari esa chekli va cheksiz tartibli bo`lishi mumkin.
Misollar. 1. 6- tartibli simmetrik gruppada elementning tartibi 2 ga , elementning tartibi 3 ga teng. Xaqiqatdan , ni kvadratga ko`tarib, ushbuni xosil qilamiz:

Endi ni qanoatlantiruvchi ning eng kichik qiymati 3 dir, chunki

= .
2-tartibli, b element 3-tartibli sikloik gruppalarni vujudga keltiradi:
;
.
2. Noldan tashqari kompleks sonlarning ko`paytirishga nisbatan gruppasi
Da elementlar mos ravishda 4,8 va cheksiz tartibli . xaqiqatdan , ning esa hech qanday darajasi ni qanoatlantirmaydi.
Bu elementlar tomonidan quyidagi siklik gruppalar vujudga keltiriladi:
A=


4-teorema. Chekli gruppaga qarashli xar bir elementning tartibi bu gruppa tartibining bo`luvchisidir.
Isboti. tartibli element tartibli siklik gruppani vujudga keltiradi. Shu sababli Lagranj teoremasiga asosan son gruppa tartibining bo`luvchisidir.
Masalan, elementining tartib, ya`ni 3 son gruppa tartibining, yani 6 ning bo`luvchisidir.