Графикаси касб-ҳунар коллежлари учун ўқув қулланма

Текширилувчи нуқтанинг базавий функцияси. 
NURBS – чизиқларнинг асосий хусусиятлари шундаки, уларнинг шакли 
текширилувчи деб аталувчи нуқталар тўпламининг жойлашиши билан 
аниқланади (control points, расмда улар B
i
лар орқали белгиланган). 
4 - Расм. Параметрик эгри чизиқни аниқлашни текширилувчи нуқталар 
тўплами. 
NURBS эгри чизиқларнинг бу хусусияти, текширилувчи нуқталарни 
суриш ѐрдамида чизиқни турли қисмларини ўзгартириб унга ҳар хил шакл 
бериш имконини беради. Ҳар бир текширилувчи нуқтанинг ўзгариши унинг 
ўз атрофидагина фаол таъсир кўрсатади, қолган қисмларга жуда кам ѐки 
умуман таъсир кўрсатмайди. Текширилувчи нуқтанинг силжиши унинг 
атрофидаги нуқталарга таъсирини ифодаловчи функцияга шу текширилувчи 
нуқтанинг базавий функцияси (basis function) дейилади. Қуйидаги расмда 
шундай функция графиги келтирилган. 
5–Расм. Алоҳида бир текширилувчи нуқтанинг базавий функцияси. 

---

28 
Алоҳида ҳар бир текширилувчи нуқта ўз базавий фукциясига эгалигини 
инобатга олсак, масалан 5 та текширилучи нуқта ѐрдамида қурилган
NURBS чизиғи 5 та шундай базавий функцияга эга бўлиши керак. 
6 – Расм. Текширувчи нуқталар тўплами учун бир жинсли базавий 
функциялар. 
Юқоридаги расмда келтирилган функциялар бир хил шаклга эга ва бир 
- биридан бир хил узоқликда жойлашган. Бу жойлашиш симметрик ва 
чиройли, аммо одатда нуқталарни шундай жойлаштириш мақсадга 
мувофиқки, уларнинг баъзилари узок масофага, баъзилари эса яқин масофа-
ларга таъсир этсин, бу эса ўз навбатида чизиқни ифодалашда бир жинсли 
эмаслик (Non – Uniform) шартини келтириб чиқаради. t параметрнинг ўқи
нуқталар кетма - кетлигини танлаш анча мушкул масала. Чунки нуқталар 
орасидаги интерваллар ѐрдамида текширулувчи нуқталар таъсир доираси 
аниқланади. Бу интервалларни чегараловчи нуқталар тугунларга (knots) ва 
уларнинг рўйхатига эса тугунлар вектори (knot vektor) номи берилган. 
Қуйидаги расмда тугунлар вектори {0.0, 1, 0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0} 
келтирилган:
7 – Расм. Бир жинсли тугунлар вектори. 
Қуйидаги расмда шу тугунлар вектори ѐрдамида қурилган чизиққа 
мисол келтирилган: 
8 – Расм. Бир жинсли тугун векторли NURBS чизиғи 

---

29 
Агар тугун вектори қуйидагича ўзгартирилса {0.0, 1.0, 2.0, 3.75, 4.0, 
4.25, 6.0, 7.0,} графикларда тасвирланган бир жинсли бўлмаган базавий 
функциялар ҳосил бўлади. 
9 – Расм. Текширилувчи нуқталар тўплами учун бир жинсли бўлмаган 
базавий функциялар. 
10 – Расм. Бир жинсли бўлмаган тугун векторли NURBS чизиғи. 
NURBS сўзидаги R – рационал (махсулдор) маъносини билдиради.
Рационал чизиқлар қуйидаги иккита ўта муҳим хусусиятга эга – улар 
проекцион ўзгартиришларда аниқ натижалар беради ва уларни ихтиѐрий эгри 
чизиқларни моделлаштиришда қўллаш мумкин (масалан айлана, эллипс, па-
рабола, ва гипербола). Шу хусусиятига кўра оддий уч ўлчовли текширилувчи 
нуқтани тўрт ўлчов орқали ифодаланади, яъни (x,y,z,w) кўринишда ифодала-
нади. Бунда w - координата текширилувчи нуқта вазнини билдиради. Вазн 
муҳимлик, таъсир кучини билдиради. Нуқтанинг вазни қанчалик катта бўлса, 
у эгри чизиқни шунчалик ўзига тортади. Қуйидаги расмлар нуқта вазнининг 
ўзгариши билан чизиқ шакли ўзгариши кўрсатилган. 

---

30 
Таъкидлаш лозимки нуқта вазнининг нисбий ўзгариши аҳамиятга эга. 
Агар ҳамма нуқталарнинг вазни 2 мартадан орттирилса чизиқ шакли 
ўзгармайди. Мисол сифатида учта текширилувчи нуқта билан аниқланган 
иккинчи тартибли NURBS чизиғини келтирамиз. Учала чизиқнинг ҳам тугун 
вектори {0.0,0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0} кўринишда бўлсин. Иккита чекка нуқталар 
вазни 1 га тенг. Агар ўртадаги чўққининг вазни 1 дан кичик бўлса эллипс (а), 
1 га тенг бўлса парабола (б) ва агар 1 дан анча катта бўлса гипербола (в) 
ҳосил бўлади. 
11 – Расм. Текширилувчи нуқта вазнининг ўзгариши билан чизиқ 
шаклининг ўзгариши. 
12 - Расм. Марказий нуқтаси турли вазнига эга бўлган NURBS чизиқлари.