Графикаси касб-ҳунар коллежлари учун ўқув қулланма

Векторли графиканинг математик асоси. 
Векторли графиканинг математик асосини қуйидаги катталиклар 
ташкил этади. 
Нуқта. Бу объект текистликда иккита (X ,Y) координаталар, координата 
бошига нисбатан унинг ўрнини белгиловчи сонлар билан аниқланади. 
Тўғри чизиқ. y=kx+b тенглама билан ифодаланади. k ва b параметр-
ларни бериш орқали ихтиѐрий чизиқни ифодалаш мумкин. 
Кесма y=kx+b билан ифодаланади ва уни ифодалаш учун k ва b 
параметрлардан ташқари кесманинг бошланғич x
1
ва охирги x
2
нуқталарни 
бериш керак. 
Иккинчи тартибли эгри чизиқ. Бу чизиқларга парабола, гипербола, 
эллипс, айлана яъни иккинчи тартибли тенгламалар билан ифодаланувчи 
чизиқлар киради. Иккинчи тартибли чизиқлар букилиш нуқталарига эга эмас. 
Тўғри чизиқлар иккинчи тартибли чизиқларнинг хусусий ҳолидир. Иккинчи 
тартибли чизиқлар умумий ҳолда қуйидаги тенглама билан ифодаланади: 
х
2
+a
1 
y
2
+a
2 
xy +a
3 
x+a
4 
y+a
5
=0
 
 
 
Демак иккинчи тартибли чексиз эгри чизиқни ифодалаш учун 5 та 
параметрни бериш кифоя. Агар эгри чизиқ кесмасини ҳосил қилиш керак 
бўлса яна иккита параметр қўшилади. 

---

25 
1- расм. Векторли графика объектлари. 
Учинчи тартибли эгри чизиқлар. Бу чизиқларнинг иккинчи тартибли 
чизиқлардан фарқи шундаки уларда букилиш нуқталари бўлиши мумкин. 
Масалан, y= x
3
функция координата бошида букилиш нуқтасига эга . Учинчи 
тартибли чизиқларнинг айнан шу хусусияти, уларни табиий объектларини 
ифодалашда асос қилиб олишга имкон беради. 
2-расм. Учинчи тартибли чизиқ (чапда) ва Безье чизиғи (ўнгда) 
Масалан, одам танасининг букилиш нуқталари учинчи тартибли 
чизиқларга жуда яқин. Биринчи ва иккинчи тартибли чизиқлар учинчи 
тартибли чизиқларнинг хусусий ҳолидир. Учинчи тартибли чизиқларни 
умумий ҳолда қуйидагича ифодалаш мумкин: 
х
3
+a
1 
y
3
+a
2 
х
2
y+a
3 
xy
2
+a
4 
x
2
+a
5 
y
2
+a
6 
xy+a
7 
x+a
8 
y+a
9
=0
Шундай қилиб учинчи тартибли чизиқни ифодалаш учун 9 та параметр, 
унинг кесмасини ифодалаш учун эса 11 та параметр ишлатилади.
Безье чизиқлари. Бу учинчи тартибли чизиқларнинг соддалаштирилган 
ҳоли. Безъе чизиқни қуриш усули бу шкалаларида ўтказилган иккита 
уринмани ишлатишга асосланган. Безъе чизиғи кесмалари 8 та параметр 

---

26 
билан ифодалайди, шунинг учун улар билан ишлаш қулай. Чизиқ шаклини 
ўтказилган уринманинг барча коэффиценти ва кесма узунлиги билан аниқла-
нади. Шундай қилиб уринмалар чизиқнинг шаклини ўзгартириш учун ўзига 
хос «дастак» вазифасини бажаради. Векторли графика дастурида таянч ва 
бошқарувчи нуқталарни кўчириш орқали Безъе чизиқларига турлича шакл 
берилади. Агар бошланғич ѐки охирги нуқта сурилса (таянч нуқта) чизиқ 
чўзилади ѐки сиқилади. Бошқарувчи нуқталарини суриш чизиқ эгрилигини 
ўзгартиради. 
Шундай қилиб бу 4 та нуқтани суриш орқали Безъе чизиқларини 
ихтиѐрий шаклга келтириш мумкин. Умумий ҳолда мураккаб шаклдаги 
чизиқларни ифодалаш учун уларни бир нечта Безъе чизиқлари шаклидаги 
чизиқлар каби ифодаланилади (таянч нуқталар сони кўпайтирилади).
Бу ҳолда таянч нуқталарнинг кўпайиши бошқарувчи «дастак» ларнинг 
кўпайишига олиб келади ва улар ѐрдамида мураккаб шакл ҳосил қилинади. 
Nurbs чизиқлар. Nurbs қисқартирма сўз бўлиб, Non - Uniform Rational 
B-spline – сўзларининг бош ҳарфларидан тузилган. 
Бунда «Non – Uniform» (бир жинсли бўлмаган) – чизиқ шаклига текши-
рилувчи нуқта ҳолатига ҳар хил таъсир этишни билдиради;
«Rational» (рационал (маҳсулдор)) – ифодаланаѐтган эгри чизиқ шакли-
нинг математик ифодаси – иккита кўп ҳад нисбати эканлигини билдиради. Бу 
хусусият турли чизиқларни аниқроқ моделлаштириш имконини беради;
«B-spline» (Basis spline – базавий сплайн) – икки ва ундан ортиқ 
текширилувчи нуқта ѐрдамида чизиқни ифодалашнинг математик усули. 
Изланаѐтган чизиқнинг математик моделини кўриш учун q (t) боғла-
нишда t параметрнинг турли қийматларида {x,y} жуфтликлар кетма -кетлиги 
ҳосил қилинади.
3–Расм. Параметрлли чизиқни қуришга мисол 
Бу нуқталар орқали q (t)= …, боғланишни қуриш, унинг ўнг томонини 
яъни параметрик тенгламани ҳосил қилиш кўзда тутилади.

---

27