Горный вестник Узбекистана 2007 №2

Список литературы:

1. 
   Тененбаум М.М. «Сопротивление абразивному изнашиванию». Москва, «Машиностроение», 1976 г. 267 с.
   
2. 
   Металлы. Метод испытания на абразивное изнашивание при трении о закрепленные абразивные частицы. ГОСТ 17367-
   

71. Госкомстандарт Совминст., Москва, 1971 г.

УДК 001 © Сафаров И.И., Болтаев М.Б. 2007 г.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПОРОДЫ ПРИ ВЗРЫВНЫХ НАГРУЗКАХ НА КОНСТРУКЦИИ ТРУБОПРОВОДОВ И КРЕПЛЕНИЯ ТОННЕЛЕЙ

Сафаров И.И., зав. кафедрой «Высшая математика» Бух ТИП и ЛП, докт. физ.-мат. наук, профессор; Болтаев М.Б., асси- стент кафедры «Естественные и общетехнические дисциплины» Зарафшанского ОТФ НГГИ

Исследование распространения взрывных на- грузок (или волн) в кусочно–однородных упругих и вязкоупругих средах представляет значительный
научный и практический интерес. Это связано как с необходимостью изучения возможных повреж- дений элементов подземных конструкций при

прохождении через них импульсов напряжений, так и с различными технологическими приложе- ниями. В частности, волны напряжений использу- ются при измерении упругих постоянных материа- лов, обнаружении трещин и передачи информа- ции.
Необходимо отметить, что если напряженно- деформированное состояние элементов конструк-
Построив решение задачи для ступенчатой волны (1), с помощью интеграла Дюамеля легко построить решение для нестационарной волны с произвольной зависимостью от времени. Отсчет времени производится от момента, когда фронт набегающей волны (1) приводит к сечению обо- лочки z  0 .
В отсутствие статических массовых сил вектор

ций при статическом и квазистатическом нагруже- ^→ T

нии может быть рассчитано при помощи хорошо
разработанных методов, то анализ распростране-
системы u  u_r , u_ , u_z  в упругой среде определя-
ется уравнением: _{→ →}

ния нестационарных волн в конструкциях пред- ставляет собой сложную математическую задачу.
Методом интегральных преобразований по-
  2 graddiru  rotrotu 

u /
 s ^{2 →} t ² .


(2)

строено приближенное аналитическое решение задачи о взаимодействии тонкой цилиндрической оболочки с грунтовой (упругой) средой при воз- действии на нее плоских сейсмических (нестацио- нарных) волн. Решение позволяет определить кольцевые и продольные деформации (и усилия) оболочке (рис. 1, 2).
По Ламе вектор смещений выражается через скалярный ^→ и векторный потенциалы:

→ → → → _,
u  u_  u_  grad  rot



→
а уравнение (2) в форме:

1

2
 ²  с ^2  ² / t ²  0 ^; ² _z  c^2  ² / t ²  0 ^;

В плоской постановке подобная задача реша- лось в [1, 2] для условия жесткого контакта обо-
²
 ^{ r}  ^{2 }  c^2  ² ^2 / t ²  0 ^{, (3)}

2

r _{2 } 2
_r r

лочки и среды, а в [3] для условий проскальзыва- ния. Расчетная схема задачи представлена на рис. 1. На круговую цилиндрическую оболочку с
²_
/ r ²  2 / r r /   c^2  ² / t ²  0

радиусом R и толщиной стенки h из материала, характеризуемого плотностью S₀ , коэффициентом
Уравнение для вектора смещений оболочки
₀  u,,^T принимается в виде [1]:

Пуассона  и модулем Юнга Е, расположенную в
L u 
2 ^ 2
2 ^{ } 2 2
² (4)

упругой среде с плотностью S и коэффициентами

₀ R _D u₀ / Dt

 P/ ₀h_ / c , c

 E / ₀ 1  ,

Ламе
,  ^{, набегает под углом  к оси оболочки}
где: L – матрицы дифференциальных операторов.

плоская ступенчатая продольная волна напряже- ний:
L₁₁  ² /  ²  1  ² / 2² /  ² , L₁₂ 

qr, , z, t   q₀H t 
(1)
 L  1  / 2² /  

где: q₀ - амплитуда набегающей волны; H - функ-
21
L  L   ^ /  , L

 ² /  ² 

ция Хевсайда.
13 31 22

 1  / 2² /  ² , L₂₃  L₃₂   /  ,
_{ 2 2 }^⁴ /  ⁴  2² /  ² ² ^




L₃₃  h


/12R


^ ⁴ /  ⁴  2² /  ² 1
Т
^ 1,


  _z , _ , _г 
ных сил.
– вектор поверхност-

Рис. 1. Расчетная схема
Начальные условия для полупростран- ства принимаем нулевыми; а граничные условия при r заданы набегающей волной (1), при r нулевые. На поверх- ности оболочки формулируются условия полного проскальзывания:

 
- непрерывность нормальных компо- нент напряжений при r = R:
_r  q₀ 1   sin ²  cos ²     

_{x  t } rcos sin r  sin   z cos r
 ₀hc ^{2  }  ² 1  1  ²  ² ^

^ ^{     }




c_{1 R} ²
_ ^ r ²
R r
R ² t ²
z ^{2 }


^  ²
 2
_ 1  _{r }
1  ² _{r }
³_ ^
G q₀  e^{ psin} D p, s, n, , I_n ,, _r ,_ , M , N /


^ r ²
R^{2 }
R 
r z ^
/p / S  p cos ,



_]
– отсутствие касательных напряжений при r = R:

₀ q ₀ 1  sin ²  sin  cos 

_ r
_ ₀hc ² _ ^ 2  ² _ 1  _{r }  ² _


R ^{2  R r R r} r ²
где: P,S - параметры преобразования Лапласа по t
=z/R;
n -параметр преобразования Фурье по ;
I_u(x) - модифицированная цилиндрическая функция индекса n.
В уравнениях (5) использованы безразмерные


1  ² _r
2 2
2  ²_ 2


2
³ _r



^  0;
переменные:
2 2

R 
R ^{ z}
R r z ^
   / R
;  _m  _m / R
; t  C₁t / R; r 

1
 r / R; q₀  q₀ /  C ²; u  u / h;

_z  0,5q₀ 1   sin 2 cos 
   / h; w  w / h.

0 _
^{ hc 2 }  ²
  2
2R _ rz
1 ^{ 2} 1 ^{ 2}

2
_ r _  _
^{R  z} R ^r
Обращение изображений по t выполнялось с помощью теоремы запаздывания. Функция проги-


бов  оболочки при  = 0,3 в разделенных пере- менных получена в виде:

_ 1  ²_
 ³_{ } 2
²_{ }^


^R r ²
1 ³
r ³ R³
_3_ 2
^ 2 ^  0,
wt,, z,  ^q0E 
5,46C₁₀R²


(6)

 _
R ² r ²

r z ^
² sin² cos ^{1} sin² 2 sin sin³^




 _
4 ^{u 3 ,}

Непрерывность скоростей смещений при r = R:
t  ₁ ³ H t  ₁  t  ₂ ³ H t  ₂ 

w q
^{ 2 } 1,11,69 A  cos   ^ 1,1cos  1,69A ^

  ⁰ sin  cos 
_ 3 3

t  C₁
где: _ ^{t  3  H t  3 } _ ^{t  4  H t  4 }_;


 ^ 
 
1  _r
  ² _r ^
0,65 A  cos   0,65 cos   A

t ^ r
R 
rz ^
t   ⁴ H t    t   ⁴ H t   

_,
  _{  4}
1 _ 2 2 _

,
где:
⁴ 1,11,69 A  cos 
1,1cos 1,69A

q₀   C₁ _n ;  _n  q₀ /  C₁;  _n 
_ t  ₃ ⁴ H t  ₃  _ t  ₄ ⁴ H t  ₄ 

 q₀ /  asin   cos 
0,65A  cos  0,65cos  A

Решение сформулированной задачи строим ме- тодом разделения переменных. Применимы к уравнениям (3)-(4) преобразования Лаплас по вре- мени, конечное косинус - или синус - преобразо- вание Фурье по углу  и преобразование Лапласа по координате z, записываем их в изображениях:

 ² ^LcL / r ²   ^LcL / rr 

 n ² / r ²  s ²  p^cl  ^LcL  0


-W/h 0,05
0,04


0,03


0,02

 ² ^d / r ²   ^d / rr 
(5)


0,01

m m
 n ² / r ²  s ²  p ² /  ²  ^d  0,
p m
1 2 3 4 5 6

где: m=1,2 d=LsL при m=1, d=LcL при m=2.
S ²  n²aU ^LcL  nsb ^LsL Sw^LcL  A² p²u ^{LcL ;}

• 
  bsnu^LcL  n²  as²  ^LsL  nw^LcL  A² p² ^{LcL ;}
  

 su^LcL  nu^LcL  k ^* S²  n²  1w ^LcL  A² p²w ^{LcL ;}

t  tC₁ /R