Горный вестник Узбекистана 2007 №2

ПРИМЕНЕНИЕ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Перегудова Г.П., преподаватель математики Зарафшанского ОТФ НГГИ

Многие студенты горного вуза считают такие предметы, как математика и физика, трудными и, более того, не нужными предметами, которые после окончания вуза в дальнейшей их работе не будут нигде применяться. Привить заинтересовать сту- дентов к этим предметам можно с помощью мето- дики межпредметных связей, когда для решения различных конкретных задач горного производства применяются законы нескольких наук. При этом у
B
Рис. Схема шарошечного долота
студентов возникает интерес к предмету изучения, его осознанная необходимость и значительно об- легчается восприятие и усвоение математики и фи- зики.
Применение законов математики и физики на примерах решения задач горного производства мною уже рассматривалось ранее в [2, 3]. При этом в [3] была выведена формула зависимости контакт- ных напряжений от осевого усилия и параметров шарошечного долота при бурении без учета энергии вращения.
При шарошечном бурении влияние осевого уси- лия на скорость бурения следует рассматривать в неразрывной связи с конструкцией вооружения ша- рошечных долот. При этом, зависимость скорости бурения от осевого усилия носит степенной харак- тер [1].
Тем интереснее, в продолжение этой темы, рас- смотреть расчет энергии вращения шарошки шаро- шечного долота в зависимости от ее параметров.
Задача:
Вычислить кинетическую энергию шарошки, вращающейся с угловой скоростью ω вокруг своей оси (рис.), если заданы радиус основания R, высота шарошки H и плотность γ материала из которого она изготовлена.

Решение:
Кинетическая энергия тела, вращающегося во- круг некоторой оси с угловой скоростью ω, равна:
¹ I ²
а элементарный момент инерции dI равен:
dI  dmr ²  2H (1  ^r )r ³dr
R
Таким образом, момент инерции всей шарошки:

2
где I – момент его инерции относительно оси вра- щения.
R R
I  _ dI  _2H (1 
0 0
^r )r ³dr 
R

За элементарную массу dm примем массу полого цилиндра высотой h с внутренним радиусом r и толщиной стенок dr. Тогда:
 2H ( ^R

4
4
4

• 
  R
  

) 
5
¹ HR ⁴ ,
10

dm  2rhdr а ее кинетическая энергия равна:

( ^{0  r  R} )
Из подобия треугольников ОСД и ОАВ имеем:
K  ¹ HR ⁴ ²
20

^r _ ^{H  h} _{, т.е} h  H (1  ^r )
R H R
Следовательно, элементарная масса:
dm  2H(1 ^r )rdr ^,
R
Таким образом, зависимость энергии вращения шарошки (К) от плотности материала выражается линейной функцией, от угловой скорости (ω) - сте- пенной функцией второго порядка. Зависимость энергии вращения шарошки от радиуса (R) значи- тельна - степенная функция четвертого порядка, т.е. на 2 порядка больше чем от угловой скорости.