Многие задачи горнодобывающей промышлен- ности приводят к необходимости изучать или син- тезировать математические модели, содержащие неточные или неизвестные до определенной степе- ни параметры. Это
связано с тем, что математиче- ские модели объектов не всегда точно описывают технологические или иные процессы вследствие погрешностей в измерениях, потерь точности при построении модели, влияния случайных факторов и т.п. Как правило, изучаемые математические моде- ли часто поддаются исследованию только с помо- щью численных методов. Среди серьезных вопро- сов возникающих при этом, является вопрос кон- троля точности полученного численного решения, а
также гарантированной точности, обеспечивающей учет влияния всех погрешностей, в том числе и ок- ругления. Следовательно, для задач указанного ти- па необходим математический аппарат адекватного описания самих процессов и представления мно- жеств решений.
В зависимости от источника неточности и неоп- ределенности данных строятся различные модели описания неопределенных параметров и методов решения таких задач. К методам решения задач в условиях неопределенности можно отнести
вероят- ностно-статистические методы, основанные на понятии «нечеткое множество и нечеткая логика» и
методы интервального анализа. Каждая из этих групп
методов имеет свою парадигму, опирается на соответствующий теоретический аппарат, имеет свои способы анализа и область применения.
Статистические и другие подходы к моделирова- нию задач с неопределенностями в данных дают в целом неплохое качественное представление о пове- дении погрешности, но не влекут гарантированных оценок для конкретных приближенных решений.
Математический аппарат интервального анализа [1-3] служит средством для исследования ограни- ченных по амплитуде неопределенностей и имеет ценность в задачах, где неопределенности и неодно- значности возникают с самого начала, будучи неотъ- емлемой частью постановки задачи. Во многих слу- чаях такой подход оказался более естественным и эффективным, а также легко алгоритмизируется при реализации на ЭВМ. Главным преимуществом ин- тервального подхода является: автоматический учет всех видов погрешностей в процессе самого вычис- ления и гарантированная точность результата.
Основное содержание идеи интервального
под- хода состоит в том, что неизвестное точное значение заменятся не единственным числом, а конечно пред- ставимым множеством элементов, содержащих в себе неизвестный элемент. Простейшим видом тако- го множества является интервал, представимый обычно парой рациональных чисел – границ. Поэто- му такой подход получил название –
интервальный.
В последнее время методы интервального анали- за находят все больше применений при конкретном математическом моделировании [4]. Здесь можно указать эффективное применение интервальных ме- тодов в задачах расчета электрических цепей, при анализе логико-динамических систем, в задачах оп- тимального управления и т.д.
В данной работе интервальный подход применя- ется для оценки параметров грунтовой обваловки траншейных зарядов выброса. При получении ин- тервальной оценки для расчетных формул использо- ван синтез двух интервальных арифметик – стан- дартной и обобщенной (рис. 1-3, табл.).
В
силу того, что основные факты и понятия ин- тервального анализа менее известны, то приведем некоторые основные обозначения и факты из интер- вального анализа [1-3], которые понадобятся для дальнейшего изложения.
Наша система обозначений следует, в основном, тем неофициальным международным рекомендаци- ям, которые были выработаны в результате дискус- сии. Краткий отчёт об этой дискуссии можно уви- деть в Интернете на сайте:
http://cs.utep. edu/interval_comp/notations/suggestion.html, посвя- щённом интервальным вычислениям.
В тексте интервалы и интервальные величины (векторы, матрицы и др.) будут обозначаться жир- ным шрифтом, например, A, B, C, x, y, z , тогда
как неинтервальные (вещественные, точечные и т.п.) величины никак специально не выделяются.
Интервальным числом называется замкнутый интервал вещественных чисел:
[a,b] {x | a x b, xR},
где R-множество
всех вещественных чисел, а множе- ство всех интервалов обозначим через I(R). Если
a - интервальное число
a I(R) , то его левый и пра-
вый концы будем обозначать как:
a : [
a,
a ].
Вырожденный интервал, т.е. интервал с совпа- дающими концами a a a , эквивалентен к ве- щественному числу a .
Символы , , , и т.п. используются и
понимаются в обычном
теоретико-множественном смысле, причем знак означает необязательно
строгое включение, т.е. допускает равенство интер- валов. Два интервала
a и
b равны, тогда и только тогда, когда
a
b ,
a
b .
Шириной интервала называется величина:
Для вещественной рациональной функции
n вещественных
переменных легко построить есте- ственное интервальное расширение. Оно получит- ся, если все вещественные переменные заменить соответствующими интервальными, а веществен- ные арифметические операции - интервально- аналитическими. Естественное интервальное рас- ширение рациональной функции монотонно по
включению: из y i
xi , i 1,
n , следует f (
y1 ,
y 2 , ,
y n )
f (
x1 ,
x2 , ,
xn )
. Это ут- верждение иногда называют
основной теоремой
