Гимназия №1 города Полярные Зори

Ekstremum mavjudligining belgilari


1° . Teorema (zaruriy xususiyat). Agar mahallada 2 d nuqta x=c:
1) f (x) funktsiyasi differensiallanadi, 2) x \u003d c qiymati f ( x ) funksiyaning ekstremum nuqtasidir, keyin c nuqtadagi hosilasi nolga teng, m . e . f '( c ) = 0.
Isbot. Aniqlik uchun x= c maksimal nuqta mavjud (111-rasm). c nuqtaning chap yarim qo'shniligining x mustaqil o'zgaruvchisining qiymatlarini c - D x : ko'rinishida va o'ngni c + D x ko'rinishida ifodalaymiz , bu erda 0< D x < d . f ( x ) funktsiyaning c nuqtadagi qiymati f ( c ), chap yarim qo'shnilikda f ( c - D x ), o'ng yarim qo'shnilikda esa f ( c + ) ga teng. D x ). c nuqtaning 2 d ga yaqinligidagi f ( x ) qiymatlari shunday qilib D x qiymatlariga bog'liq va x = c ^- / ₊ D x qiymati, agar D x bo'lsa, c soniga cheksiz yaqinlashadi. nolga intiladi.
Funktsiyaning maksimal ta'rifi bo'yicha:
f ( c - D x )< f ( c ) va f ( c + D x )< f ( c ).
Bu yerdan:
f ( c -D x )- f ( c )<0 va f ( c + Dx) - f (c)<0 .
argument mos ravishda - Dx va + Dx ga o'zgarganda x \u003d c nuqtasida funktsiyaning o'sishini ifodalaydi . Funktsiya o'sishining argumentning o'sishiga nisbatini tuzib, biz quyidagilarni olamiz:

lim ((f(c - Δx)-f(c))/(—Δx)) = f‘(c) и lim ((f(c + Δx)-f(c))/(+Δx)) = f‘(c).
- Δx→0 + Δx→0
( f ( c -Dx) - f (c)) / (-Dx))> 0 (1); ( f (s + Dx)— f (s)/(+Dx))<0 (2) Har ikkala (1) va (2) munosabatlar Dx → 0 bilan bir xil chegaraga ega , chunki shartli ravishda f ( x ) funksiyasi c nuqtada ma'lum bir ixtiyoriylikka ega:
Tengsizlikdan (1) f '(c) musbat yoki nolga teng, tengsizlik (2) esa ­f ' (c) musbat bo'lmasligini ko'rsatadi. Binobarin,
f '( c ) = 0,
Q.E.D.
2° . Teorema (etarli mezon). Agar x nuqtaning 2 d qo'shnisida = c bo'lsa:
1) f ( x ) funksiyasi davomiy,
2) f '(x) ­hosilasi x = c nuqtaning chap tomonida musbat, o'ng tomonida manfiy bo'lsa, x = c qiymati funksiyaning maksimal nuqtasidir.

lim f(c - Δx) = f(c) и lim f(c + Δx) = f(c).
- Δx→0 + Δx→0
Isbot. Bu funksiya c nuqtada uzluksizdir , shuning uchun f (c) soni f ( c - D x ) va f ( c + Dx ) uchun Dx → 0 (oldingi teoremadagi kabi, bu erda va 0 dan past ) uchun umumiy chegaradir . ­< Dx < d ) :
Bu f ( x ) nuqtaning chap yarim qo'shnisidagi c nuqtaning hosilasi musbat bo'lgani uchun ortib bormoqda, o'ng yarim qo'shnilikda esa kamaymoqda, chunki uning o'ng tomonidagi hosilasi c . c nuqtasi manfiy (la'nati) va natijada uning qiymatlari
f ( c - D x ) va f ( c +Dx)
ortish, chunki Dx nolga intiladi (kamayuvchi funksiya taʼrifiga koʻra , argumentning kichikroq qiymati funksiyaning kattaroq qiymatiga toʻgʻri keladi, yaʼni x ₁ > x _{2 uchun} f ( x ₁ )< f ( x ₂ ) ) .
Boshqacha qilib aytganda, f ( c - Dx) ham , f ( c + Dx) ham f (c) chegarasiga shunday yaqinlashadiki, Dx ning har bir qiymati uchun ≠ 0 :
f ( c - Dx) < f ( c ) va f ( c + Dx) < f ( c ).
Lekin bu holda f ( c ) f ( x ) funksiyaning x = c nuqtadagi maksimali hisoblanadi .
3° . Shuni ham isbotlash mumkinki, agar x = c nuqtaning 2 d qo'shnisida :
1) f ( x ) funktsiyasi uzluksiz, 2) x \u003d c nuqtasining chap tomonidagi f '( x ) hosilasi manfiy, o'ng tomoni esa musbat, u holda x \u003d c qiymati minimaldir. funktsiyaning nuqtasi (la'nati).
4° . Maksimal nuqtada ham, minimal nuqtada ham hosila nolga teng (1°). Buning aksi haqiqat emas. Hosil nolga teng bo‘lgan nuqtada funksiya na maksimal, na minimalga ega bo‘lishi mumkin.
Masalan, y = funktsiyasi x ^{3 ning} x \ u003d 0 nuqtasida nolga teng hosilasi bor. Biroq, x \u003d 0 nuqtasida na maksimal, na minimal, y \u003d x ^{3 funktsiyasi mavjud.} x ning barcha qiymatlari uchun , shu jumladan x = 0 , ortadi. Demak, x \u003d c nuqtasida f ( x ) funktsiyasi maksimal yoki minimumga ega emas, agar x \u003d c da uning hosilasi nolga teng bo'lsa va x nuqtasining chap va o'ng tomonida bir xil belgiga ega bo'lsa. \u003d c.
5° . Ta'rif. f '(x) hosilasi nolga teng bo'lgan x argumentining qiymatlari statsionar deyiladi. nuqta.
Statsionar nuqtalardagi tangens Ox o'qiga parallel. Maksimal nuqtaga yaqin joyda, agar nuqta maksimal nuqtaning chap tomonida bo'lsa ­, teginish abscissa o'qi bilan o'tkir burchak hosil qiladi, agar uning o'ng tomonida bo'lsa, o'tkir burchak hosil qiladi (rasm). Minimal bo'lsa, aksincha, agar nuqta minimal nuqtadan chap tomonda bo'lsa, teginish abscissa o'qi bilan o'tmas burchak hosil qiladi va undan o'ng tomonda bo'lsa, o'tkir burchak hosil qiladi (la'nat).