Гимназия №1 города Полярные Зори

Funktsiyaning differentsialligi va uzluksizligi o'rtasidagi bog'liqlik


1° . Teorema. Agar y = f ( x ) funktsiya x ­nuqtada aniq hosilaga ega bo'lsa, u o'sha nuqtada uzluksizdir.
Isbot. Keling, identifikatsiyani yozamiz:
Dy=(Dy/Dx)*Dx
chunki biz har doim Dx ≠ 0 ni hisoblaymiz . Dx nolga moyil bo'lganligi sababli, Dy/Dx nisbati ma'lum chegaraga ega (shart bo'yicha) va shuning uchun cheklangan qiymat mavjud Dx ; cheksiz kichikdir. Demak, mahsulot (Dy/Dx)*Dx cheksiz ­kichik miqdor bo'lib, uning chegarasi nolga teng, ya'ni.

lim Δy = 0

Δ x→0

Demak, berilgan y = f ( x ) funksiya uzluksizdir.
2° , Teskari teorema toʻgʻri emas: uzluksiz funksiya hosilaga ega boʻlmasligi mumkin. Masalan, funktsiya:
y = |x|
(jahannam) nuqtada x = 0 uzluksizdir. Shu bilan birga, x = 0 nuqtada aniq tangens yo'q , funktsiyani differentsiallash mumkin emas.
3° . Natija. Uzluksizlik nuqtasida funktsiyaning hosilasi yo'q.
uzluksizlik va differentsiallik tushunchalari orasidagi aniq farqni ­yorqin rus olimi N. I. Lobachevskiy bergan.


Konstantaning hosilasi

Teorema Doimiy funktsiya istalgan x nuqtada nolga teng hosilaga ega.

Berilgan: y = c (la'nati).
Buni isbotlash talab qilinadi: c'=0.

lim (Δx/Δy)=0, т. е.
Δx→0
x ning har qanday qiymati va har qanday D x o'sish uchun D y funksiyaning o'sishi nolga teng, D x /D y nisbati ham nolga teng .
Bu yerdan

c’=0


Elementar hosilalar jadvali

Funktsiya	Uning hosilasi
xp ^_	px ^p-1, p R
c (c-const)	0
1/x	^-1/x2
____ √x	____ 1/2√x
e ^x	e ^x
gunoh x	chunki x
chunki x	-sin x
tg x	1 /cos ^2x
ctg x	-1 /sin ^2x
y = u ^p	pu'u ^p-1
ln x	1/x
a ^x	a ^xlna, a>0
log x _	1/(x lna), a>0, a 0
arcsinx	___________ 1/ 1-x ^2
arccosx	___________ -1/ 1-x ^2
arctg x	^+x2 )
arcctg x	-1/(1+ ^x2)

Farqlash qoidalari


c doimiy, f ( x ) va g ( x ) differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin
c = 0
(c * f(x))' = c * (f(x))';
(f(x) ⁺ g(x))' = f'(x) ⁺ g'(x);
(f(x) * g(x))' = f '(x) * g(x) + f(x) * g '(x);
(f(x)/g(x))' = (f '(x) * g(x) – f(x) * g '(x))/g ² (x);
FUNKSIYALARNI HOSILAVIY YODAMI BILAN O‘RGANISH
Funksiyalarning doimiyligi, ortishi va kamayishi belgilari


y = f ( x ) a ≤ x ≤ b segmentining har bir nuqtasida aniqlangan va differentsiallangan deb faraz qilamiz .
1° . Ma'lumki, doimiy funktsiya segmentning har bir nuqtasida nolga teng hosilaga ega. To'liq tahlil kurslarida buning aksi isbotlanadi, agar segmentning har bir nuqtasida uning hosilasi f '(x) nolga teng bo'lsa, f ( x ) funksiya [a, b ] segmentida doimiy bo'ladi.
Biz buni geometrik tarzda tasvirlaymiz. Agar [a, b ] segmentining har bir nuqtasida f ' ( x ) \u003d 0 bo'lsa, u holda x (a ≤ ) nuqtalarining har birida y \ u003d f ( x ) funksiya grafigiga teginish bo'ladi. x ≤ b ) x o'qiga parallel . X bir qiymatdan uning keyingi qiymatlariga oʻtganda , teginish nuqtasi boʻlgan funksiya grafigining M. nuqtasi oʻngga siljiydi, lekin M nuqtada chizilgan tangens yoʻnalishida qoladi. , chunki bu o'tish paytida tangens o'z yo'nalishini o'zgartirmaydi. Natijada [a, b ] segmentida
funktsiyaning grafigi y \ u003d f ( x ) Ox o'qiga parallel MN to'g'ri chiziqqa aylanadi va f ( a) ga teng funktsiyaning qiymati o'zgarishsiz qoladi (la'nat).
2° . Agar a < x < b oralig'ida y \ u003d f ( x ) funktsiyasi ortib borayotgan bo'lsa (do'zax), u holda x oshgani sayin, uning har bir keyingi qiymati oldingisidan kattaroq bo'ladi va shuning uchun x ning har bir berilgan qiymati uchun, D x va Dy o'sishlari musbat, Dy / Dx nisbati musbat va Dx nolga moyil bo'lgani uchun u faqat oladi.
Natijada uning chegarasi - f '(x) hosilasi musbat yoki nolga teng
f'(x) ≥ 0
aoralig'ida bo'lsa y \ u003d f ( x ) funktsiyasi kamayib bormoqda (do'zax), keyin x oshgani sayin, funktsiyaning har bir keyingi qiymati oldingisidan kamroq bo'ladi. Shuning uchun, x ning har bir berilgan qiymati uchun Dx o'sish musbat, Dy o'sish manfiy bo'lgan vaqtda, Dy/Dx nisbati faqat manfiy qiymatlarni oladi va Dx ga moyil bo'lganidek. nolga salbiy son yoki uning chegarasi sifatida nolga ega, ya'ni.
f'(x) ≤ 0 .
f '(x) hosilasining qiymati y = f ( x ) funksiya grafigiga teginish qiyaligiga teng bo'lgani uchun :
f'(x)=tgph ,
va ortib boruvchi funksiya uchun f '( x ) = tgph ≥ 0 , u holda ortib boruvchi funksiya grafigiga teginish Ox o'qi bilan o'tkir burchak hosil qiladi yoki Ox o'qiga parallel bo'ladi (106-rasm). F '(x) \ u003d tgph ≤ 0 kamayuvchi funktsiya uchun grafikning tangensi Ox o'qi bilan o'tmas burchak hosil qiladi yoki Ox o'qiga parallel bo'ladi (la'nat).
a < x < b oralig'ida funktsiyaning ortishi (yoki kamayishi) a ≤ x ≤ b ₁ ( a < a ₁ < b ₁ < b ) segmenti mavjud emas, uning barcha nuqtalarida hosila nolga teng, chunki f '( x ) bo'lsa. a ₁ ≤ x ≤ b ₁ segmentida = 0 u holda f ( x ) funksiya bu segmentning hamma nuqtalarida bir xil qiymatga ega bo'lar edi, ya'ni u o'smaydi (yoki kamaymaydi).
Ox o'qiga parallel bo'lgan ortib boruvchi (yoki kamayuvchi) funksiya grafigining nuqtalari , ularning abscissalari segmentni tashkil etmasligi ma'nosida alohida nuqtalardir. Jin ursin. va do'zax. bunday nuqtalar R va R _{1 dir} .
3° . To'liq tahlil kurslarida funktsiyani oshirish va kamaytirish uchun quyidagi etarli mezonlar isbotlangan:
f ( x ) funksiyasi a < x < b oraliqda ortadi (yoki kamayadi), agar:
1) f '(x) hosilasi a
f '( x ) ≥ 0 (yoki f '( x ) ≤ 0)
va
a ₁ ≤ x ≤ b ₁ (a₁ < b ₁ < b ) segment yo'q, uning barcha nuqtalarida hosilasi f '(x) = 0 bo'ladi.
4° . Misol. Funktsiyaning o'sishi va kamayishi oraliqlarini aniqlang: y \u003d x ³ - x ² - 8x + 2 .
Yechim. O'sish va kamayuvchi funktsiyalarning belgilarini qo'llash uchun biz ushbu funktsiyaning hosilasini topamiz va u ijobiy yoki salbiy bo'lgan x qiymatlarini aniqlaymiz:
y' = 3x ² - 2x - 8 .
Keling, ikkinchi darajali trinomialni omillarga ajratamiz, chunki yig'indining belgisini atamalar belgilariga ko'ra, ko'paytma belgisini omillar belgilariga ko'ra baholash ancha osondir.
Trinomial ildizlar:

_______________
x=(1⁺√1+24)/3=(1⁺5)/3; x₁= - 4/3, x₂=2.

Bu yerdan:

y'=3(x+4/3)(x-2).
X + 4/3 omili x < - 4/3 uchun manfiy va x > uchun musbat - 4/3. X - 2 omili x < 2 uchun manfiy va x > 2 uchun musbat. Mahsulot belgisi Ox o'qidagi x nuqtasining -4/3 va nuqtalarga nisbatan joylashishiga qarab bir yoki boshqa bo'ladi. 2.
-4/3 va 2 nuqtalar butun o'qni uchta bo'shliqqa ajratadi;
1) — ∞ < x <-4/3, 2) -4/3< x <2, 3)2< x < + ∞ .
Har bir oraliqda hosila belgisini aniqlash uchun jadval tuzamiz:

pro-gap no.	Bo'shliqning xarakteristikasi	X +4/3 belgisi	X -2 belgisi	f '( x ) belgisi	Bu funktsiyasi
bitta	- ∞ < x < - 4/3	—	—	+	ortadi
2	-4/3 < x < 2	+	—	—	kamayadi
3	2 < x < + ∞	+	+	+	ortadi

Shuning uchun bu funksiya intervallarda ortadi
- ∞ < x < -4/3 va 2 < x < + ∞ va intervalda kamayadi - 4/3 < x < 2 .
Ushbu funktsiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan.
5 °. Funktsiya y \u003d x ³ (jahannam) y = 3x2 hosilasiga ega ^, bu x ning noldan boshqa har qanday qiymati uchun ijobiydir . x = 0 uchun hosila y' = 0 . Funktsiya y = x ³ oraliqda ortadi — ∞ < x <+ ∞ ; x = 0 - hosila nolga teng bo'lgan alohida yagona nuqta, bunda funktsiya ortadi. Haqiqatan ham, x = 0 uchun x ³ \u003d 0 va x < 0 x ³ < 0 va x > 0 x ^{3 uchun} > 0.