Гимназия №1 города Полярные Зори

Касательная к кривой


1°. Возьмем на прямой АВ (черт) точку С и про­ведем через нее прямую СМ, не совпадающую с АВ. Во­образим, что прямая СМ вращается вокруг точки С так, что угол γ между прямыми стремится к нулю. Непо­движная прямая АВ называется в этом случае предельным положением подвижной пря­мой СМ.

2°, Вообразим, что на кривой АВ (черт. 93) точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, се­кущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же пря­мая СТ — предельное положение секущей СМ.
Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.
Точка С называется точкой прикосновения или ка­сания.
3°. Следствие. Угол φ (черт.), образуемым ка­сательной СТ с осью Ох, есть предел угла α, обра­зуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.
Действительно, угол γ между касательной СТ и секущей СМ равен разности α — φ:
α — φ = γ.
По определению касательной, угол γ — бесконечно ма­лая величина, а поэтому
φ — limα. (I)

4°. Теорема. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.
Доказательство. Уг­ловой коэффициент касатель­ной:
tgφ = tg(limα),
так как, по предыдущему, φ = limα.

Исключая случай φ = π/2,

в силу непрерывности тангенса имеем: tg(limα) = lim tgα.
Поэтому tgφ = lim tgα.
По формуле (VI) для СМ (черт.) имеем:
tgα=(f(x+Δx) -f (x))/Δx
Переходя к пределу при Δx→0 (точка М при Δx→ 0 неограниченно приближается к С, а угол α→φ), имеем:

lim tg α =lim((f(x+Δx)-f(x))/Δx)=f '(x).
Δx→0 Δx→0

tgφ=f '(x)

Следовательно, (IV)