Гимназия №1 города Полярные Зори

Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции


1°. Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точ­ке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Напишем тождество:
Δy=(Δy/Δx)*Δx
так как всегда считаем Δx ≠ 0. При стремлении Δx к нулю отношение Δy/Δx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Δx; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Δy/Δx)*Δx есть бес­конечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е.

lim Δy = 0

Δ x→0

Следовательно, данная функция y=f(x) непрерывна.
2°, Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция:
y = |х|
(черт.) в точке x = 0 непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема.
3°. Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.
Впервые отчетливое различие между понятием непре­рывности и дифференцируемости было дано гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским.

ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Производная постоянной

Теорема Постоянная функция имеет в любой точке x производную, равную нулю.

Дано: y=c (черт.).
Требуется доказать: с’=0.

lim (Δx/Δy)=0, т. е.
Δx→0

Доказательство: Для любого значения x и для всякого приращения Δx приращение функции Δy равно нулю, также равно нулю и отношение Δx/Δy.

Отсюда

c’=0

Таблица элементарных производных