Гимназия №1 города Полярные Зори

Точки перегиба


1°. Определение, Если в некоторой окрестности точки х = с кривая —график дифференцируемой функции y = f(x) — имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с называется точкой перегиба.

Точку М кривой (черт.), абсцисса которой х = с, называют также точкой перегиба, она отделяет дугу кривой, вогнутую вверх, от дуги, вогнутой вниз. Точкой перегиба может быть только та точка, в которой к кривой имеется касательная. В окрестности точки перегиба кривая лежит по обе стороны от касательной: выше и ниже ее. Заметим, что она расположена также по обе стороны от нормали. Но такая точка, как Р (черт.), в которой единственной касательной не имеется, точкой перегиба не является.
2°. Так как слева и справа от точки перегиба х = с вогнутости кривой y=f(x) разного направления, то вторая производная f "(x) имеет слева и справа от точки х = с разные знаки или равна нулю. Полагая вторую производную непрерывной и окрестности точки х = с, заключаем, что в точке перегиба она равна нулю, т. е.
f(c) = 0.
3°. Отсюда следует правило нахождения точек перегиба:
1) найти вторую производную данной функции;
2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему;
3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями;
4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.
4°. Примеры. Найти точки перегиба и определить проме­жутки вогнутости вверх и вниз кривых:
1) у = lп х.
Р е ш е н и е. Находим вторую производную:
y '=1/x; y ''= -1/x².
При всяком значении x = (0 < х <+∞) у" отрицательна. Значит, логарифмика точек перегиба не имеет и обращена вогнутостью вниз.
2) у = sin x.
Решение. Находим вторую производную:
y' =cos x, y'' = -sin x.
Полагая - sin x = 0, находим, что x = kπ, где k - целое число.
Если 0 < x< π, то sin x положителен и y '' отрицательна, если же π < x< 2π, то sin x отрицателен и y'' положительна и т. д. Значит, синусоида имеет точки перегиба 0, π, 2π,...
В первом промежутке 0 < x< π она обращена вогнутостью вниз, во втором - вогнутостью вверх и т. д.