Геометриянинг ривожланиш тарихидан. Координатлар усули ва содда масалалар. Таянч ибора ва тушунчалар

4). Тўғри чизиқнинг кесмаларга нисбатан тенгламаси.
5). Тўғри чизиқнинг нормал тенгламаси.
Таянч ибора ва тушунчалар
Текисликда чизиқ ва унинг тенгламаси, бурчак коэффициент, тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламаси, тўғри чизиқнинг умумий тенгламаси, тўғри чизиқнинг ўқлардан ажратган кесмаларга нисбатан тенгламаси, берилган битта нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқлар тенгламаси, берилган икки нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси, тўғри чизиқнинг нормали, тўғри чизиқнинг нормал тенгламаси.
1. Чизиқ ва унинг тенгламаси ҳақида. Аналитик геометриянинг энг муҳим тушунчаларидан бири, чизиқ тенгламаси тушунчасидир. Текисликда тўғри бурчакли координатлар системасида чизиқ берилган бўлсин(4-чизма).
Таъриф. чизиқда ётувчи исталган нуқтанинг координатлари
(1)
тенгламани қаноатлантириб, унда ётмаган нуқталарнинг координатлари қаноатлантирмаса, бу тенглама чизиқнинг тенгламаси дейилади. Бундан чизиқ, координатлари (1) тенгламани қаноатлантирувчи барча нуқталар тўпламидан иборат эканлиги келиб чиқади. Чизиқнинг тенгламасини тузиш деганда унга тегишли ихтиёрий нуқтанинг координатлари орасидаги муносабатни(боғланишни) тенглама кўринишида ифодалашдан иборат. Топилган чизиқ тенгламаси учун: чизиқдаги исталган нуқтанинг координатлари уни қаноатлантиради ва аксинча, нуқтанинг координатлари тенгламани қаноатлантирса, бу нуқта шу чизиқда ётади.
2. Тўғри чизиқ ва унинг тенгламалари. Тўғри чизиқ тушунчаси аналитик геометриянинг асосий тушунчаларидан биридир. Қуйида ҳар хил ҳолатларда тўғри чизиқнинг аналитик ифодаларини (тенгламаларини) келтириб чиқарамиз ва улар ёрдамида тўғри чизиқнинг текисликдаги вазиятларини ўрганамиз.
1) Тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламаси. Тўғри чизиқнинг ўқи мусбат йўналиши билан ҳосил қилган бурчаги ва тўғри чизиқнинг ординатлар ўқидан ажратган кесмасининг катталиги берилганда, унинг текисликдаги ҳолати аниқ бўлади. Масалан, , бўлса, унинг ҳолати аниқ бўлади (5-чизма).



y

x

O

L

y

x

3



O

y

y

x

O

M

A

B

C

b

4-чизма 5-чизма 6-чизма

Юқоридаги миқдорлар берилганда тўғри чизиқнинг тенгламасини келтириб чиқарамиз. тўғри чизиққа тегишли ихтиёрий нуқта бўлсин (6-чизма). тўғри бурчакли учбурчакдан

, бундан
6–чизмадан ; ёки , бўлганлиги учун бўлади. тўғри чизиқнинг бурчак коэффициенти дейилади ва билан белгилаймиз. Шундай қилиб,
(2)
муносабат келиб чиқади. Бунга тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламаси дейилади. бўлса, тўғри чизиқ координатлар бошидан ўтиб, тенгламаси бўлади. бўлса, бўлиб, бу биринчи координат- лар бурчагининг биссектрисаси бўлади.
1-мисол. ўқи билан бурчак ҳосил қилувчи ва ўқини нуқтада кесиб ўтувчи тўғри чизиқни ясанг ва унинг тенгламасини ёзинг.
Ечиш. Шартга кўра, тўғри чизиқ ўқини нуқтада кесиб ўтади, демак . Бу нуқтадан ўқига параллел чизиқ ўтказамиз, ҳамда шу тўғри чизиқ билан бурчак ҳосил қилувчи томон, ясалиши керак бўлган тўғри чизиқ бўлади .
Энди шу тўғри чизиқ тенгламасини ёзамиз. Бу ҳолда бўлганлиги учун, тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламаси бўлади.
2) Берилган битта нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқлар дастасининг тенгламаси. Берилган икки нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси. , нуқталар берилган бўлсин.
(3)
тўғри чизиқ нуқтадан ўтсин. Бу ҳолда нуқтанинг координатлари тўғри чизиқ тенгламасини қаноатлантиради, яъни бўлади. (3) тенгликдан охирги тенгликни айирсак:
(4)
ҳосил бўлади. (4) тенгламага берилган битта нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқлар дастасининг тенгламаси дейилади.
Тўғри чизиқ иккинчи нуқтадан ҳам ўтса,

бўлиб,

бўлади. нинг юқоридаги қийматини (4)га қўйиб,
(5)
тенгламани ҳосил қиламиз. (5) берилган икки ва нуқталардан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси дейилади.
2-мисол. Бирор хил маҳсулотдан 100 донасини ишлаб чиқаришга 300 минг сўм харажат қилинсин. 500 донаси учун эса харажат 1300 минг сўм бўлсин. Харажат функцияси чизиқли (тўғри чизиқ) бўлса, шу маҳсулотдан 400 дона ишлаб чиқариш харажатини топинг.
Ечиш. Масала шарти бўйича ва нуқталар берилган. Берилган икки нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламасига асосан,
, ёки
тенглик ўринли бўлади. Охирги тенгламадан учун, эканлигини топамиз. Демак, маҳсулотдан 400 дона ишлаб чиқариш учун 1050 минг сўм харажат қилинади.
3). Тўғри чизиқнинг умумий тенгламаси ва унинг хусусий ҳоллари. Икки номаълумли

тенгламани қараймиз.
Бундан, , бўлиб, , билан белгиласак, тенглама ҳосил бўлади. Шундай қилиб, тенглама ҳам тўғри чизиқ тенгламаси эканлиги келиб чиқади.
(6)
тенгламага тўғри чизиқнинг умумий тенгламаси дейилади.