Gauss tipidagi kvadratur formulalar va ularning tadbiqi

1.3 Nyuton – Kotes kvadratur formulalari.

Nyuton – Kotes formulalari eng dastlabki interpolyatsion kvadratur formulalardan hisoblanadi. Bu formulalarda oraliq chekli, vazn funksiyasi va tugunlar teng uzoqlikda joylashgandir. Bu formula (1.2.9) formulaning bo’lgandagi xususiy holidir.

Lekin aksariyat adabiyotlarda Nyuton – Kotes formulasi (1.2.15) ko’rinishida emas, balki boshqa ko’rinishda keltiriladi. Biz ham shu ko’rinishda qaraymiz.Buning uchun [a,b] oraliqni

k= h=

(n+1) ta nuqtalar yordamida n ta bo’lakka bo’lamiz va koeffisentlarni tegishli ko’rinishga keltirish uchun

=

integralda x=a+th almashtirish bajaramiz,

bo’lganligi uchun

=

Demak,

=

Endi

= (1.3.1)

deb olsak, u holda Nyuton – Kotes formulasi quyidagicha yoziladi:

. (1.3.2)

bundagi koeffisentlar [a,b] oraliqqa bog’liq emas.

Kotes tomonidan koeffisentlar n=1,2,..,10 uchun hisoblangan. R.O. Kuzmin lar uchun da asimptotik formulalarni topgan edi. Bu formulalardan jumladan, da kelib chiqadi. Endi ekanligini hisobga olsak, bundan n yetarlicha katta bo’lganda koeffisentlar orasida manfiylari ham, musbatlari ham mavjudligi ravshan bo’lib qoladi. Hatto, n=8 va n=10 bo’lganda ham lar orasida manfiylari mavjuddir. Shuning uchun ham Nyuton-Kotes formulalarini katta n larda qo’llash maqsadga muvofiq emas. Ravshanki, n=1 va n=2 bo’lganda (1.3.2) formuladan mos ravishda trapetsiya va Simpson formulalari kelib chiqadi. To’g’ri to’rtburchak formulasi esa va n=1 bo’lganda

.

formuladan kelib chiqadi. n=3 bo’lganda (1.1.1) dan “Sakkizdan uch qoidasi” deb ataluvchi Nyuton formulasiga ega bo’lamiz:

Nyuton – Kotes formulasi bilan tanishib chiqdik. Endi Mathcad dasturida formulaning yechimini va qoldiq hadini ko’ramiz.