Ga misollar. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

Ta'rif 2 . Chiziqli fazo?chaqirdi normallashtirilgan, agar har bir vektor x bu bo'shliqdan salbiy bo'lmagan belgi qo'yiladi raqam uni chaqirdi norma x... Bunday holda, aksiomalar bajariladi:
Normativ bo'shliq metrik fazo ekanligini ko'rish oson estom. Haqiqatan ham, orasidagi masofa sifatida x va y olishingiz mumkin. Evklid tilidafazo En har qanday vektor x normasi sifatida? En - uning uzunligi, bular. ...
Demak, Evklid fazosi En metrik fazo va bundan tashqari, Evklid fazosi En - normalangan fazo.

Vektorlar orasidagi burchak

Ta'rif 1 . Nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchak a va b Evklid fazosidavlat E n uchun raqam hisoblanadi 
Ta'rif 2 . Vektorlar x va y Evklid fazosi En deyiladi ortogonzig'ir agar ular tenglikni qanoatlantirsa (x, y) = 0.
Agar x va y nolga teng bo'lmasa, ta'rifdan kelib chiqadiki, ular orasidagi burchak tengdir
E'tibor bering, nol vektor har qanday vektorga ortogonal hisoblanadi.
Misol ... Geometrik (koordinatali) fazoda?3, qaysi Evklid fazosining alohida holati, birlik vektorlari i, j va k o'zaro ortogonal.

Ortonormal asos

Ta'rif 1 . E1 asosi Evklid fazosining , e2, ..., eni En deyiladi ortogonzig'ir agar bu asosning vektorlari juft ortogonal bo'lsa, ya'ni. agar
Ta'rif 2 . Agar ortogonal bazisning barcha vektorlari e1, e2, ..., en - birlik, ya'ni. e i = 1 (i = 1,2, ..., n), keyin bazis chaqiriladi ortonormal, ya'ni. uchunortonormal asos

Teorema. (ortonormal asosni qurish bo'yicha)
Ortonormal asoslar har qanday Evklid fazosida mavjud E n.
Isbot ... Ish uchun teoremani isbotlaylik n = 3.
E1, E2, E3 Evklid fazosining E3 ixtiyoriy asosi bo'lsin Keling, ortonormal asosni quraylikbu bo'shliqda.Biz qaerga qo'yamiz ? - biz tanlagan haqiqiy raqamshuning uchun (e1, e2) = 0, keyin biz olamiz
va bu aniqmi? = 0, agar E1 va E2 ortogonal bo'lsa, ya'ni. bu holda e2 = E2, va beri bu asosiy vektor.
(e1, e2) = 0 ekanligini hisobga olsak, olamiz

Shubhasiz, agar e1 va e2 E3 vektori bilan ortogonal bo'lsa, ya'ni. bu holda e3 = E3 olish kerak. Vektor E3? 0 chunki E1, E2 va E3 chiziqli mustaqil,shuning uchun e3? 0.
Bundan tashqari, yuqoridagi mulohazalardan kelib chiqadiki, e3 shaklda ifodalanishi mumkin emas e1 va e2 vektorlarining chiziqli birikmasi, shuning uchun e1, e2, e3 vektorlari chiziqli mustaqildir.sims va juft ortogonaldir, shuning uchun ularni Evklidning asosi sifatida olish mumkin.E3 maydoni. Bu faqat qurilgan asosni normallashtirish uchun qoladi, buning uchun bu etarlituzilgan vektorlarning har birini uzunligiga bo'ling. Keyin olamiz

Shunday qilib, biz asos yaratdik ortonormal asosdir. Teorema isbotlangan.
Ixtiyoriy asosdan ortonormal asos qurish uchun qo'llaniladigan usul asos deyiladi