Г л а в а 2 математическое описание сигналов, сообщений и помех

5. Соотношение между спектральной плотностью и ковариационной функцией случайного процесса. Белый шум

С одной стороны, скорость изменения x(t) во времени определяет ширину спектра. С другой стороны, скорость изменения x(t) определяет ход ковариационной функции. Очевидно, что между W_x() и K_x() имеется взаимно однозначная связь.

Теорема Винера-Хинчина утверждает, что K_x() и W_x() связаны между собой преобразованиями Фурье:
. ∞ -j
W_x() =  K_x()e d, (2.94)
-∞
(2.95)
Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные выражения имеют вид:
. ∞ -j
W_x() =  R_x()e d, (2.94а)
-∞
(2.95а)

Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобразований Фурье, установленным в п. 2.9 для детерминированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции и, соответственно, тем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.

Рис. 2.25. Спектр белого шума
Большой интерес представляет белый шум, когда спектр равномерен на всех частотах -∞<<∞ (рис. 2.25).
Если в выражении (2.95а) подставить W_x()=W₀=const, то получим:
(2.96)

где () – дельта-функция.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляционная функция равна нулю для всех значений , кроме =0, при котором R_x(0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика. Если спектр W_x() ограничен сверху частотой _в, то такой процесс называется квазибелым шумом.