Г л а в а 2 математическое описание сигналов, сообщений и помех

R_x(t₁, t₂) = M{[X(t₁) – X(t₁)][X(t₂) – X(t₂)]} (2.86)
для случайных величин X(t₂) = X₂.
Подробнее символическая запись (2.86) может быть представлена в виде:
∞ ∞ __ __
R_x(t₁, t₂) =  (x₁ – X₁)(x₂ – X₂)p₂(x₁x₂)dx₁x₂. (2.87)
-∞ -∞
Выражения (2.86) и (2.87) являются функциями двух переменных t₁ и t₂ и поэтому называются корреляционными или автокорреляционными функциями.
В теории вероятностей доказывается, что величина корреляционного момента двух случайных величин не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются. Вследствие этого корреляционная функция симметрична относительно t₁ и t₂, т.е.:
R_x(t₁, t₂) = R_x(t₂, t₁).
Это же свойство вытекает из определения корреляционной функции по формуле (2.86).
Поскольку корреляционная функция отражает статистическую связь между значениями одной и той же случайной функции, взятыми в моменты t₁ и t₂, она убывает с ростом интервала  = t₁ – t₂. Корреляционная функция является более полной характеристикой случайного процесса, чем дисперсия, включающая ее как частный случай.
При анализе случайных процессов часто вводится понятие нормированной функции автокорреляции:
(2.88)
Из (2.88) следует, что при t₁ = t₂
_x(t₁, t₂) = 1.
Функция корреляции позволяет ввести понятие интервала корреляции. Под интервалом корреляции понимают такое значение _k = t₁ – t₂, при котором
_x(t₁, t₂) = ,
где <1 – некоторая заданная величина. Величина  может зависеть от конкретно поставленной задачи. Введение этого понятия позволяет приближенно считать мгновенные значения случайного процесса X(t₁) и X(t₂) при t₁ – t₂>_k некоррелированными.
В приложении к многомерным законам распределения можно сказать, что случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность вероятности p(x₁, x₂, …, x_n; t₁, t₂, …, t_n) произвольного порядка n зависит только от интервалов t₂ – t₁, t₃ – t₁, …, t_n – t₁ и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.
В теории сигналов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности. Выполнение этого условия позволяет считать, что математическое ожидание, средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от самих моментов времени t₁ и t₂, а только от интервала между ними =t₁ – t₂.
Дальнейшее упрощение анализа случайных сигналов достигается при использовании условия эргодичности случайного процесса. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.
Определение статистической связи между мгновенными значениями случайного сигнала (корреляционный анализ) и свойство эргодичности широко используются в современных системах приема и обработки сигналов.