Г л а в а 2 математическое описание сигналов, сообщений и помех

s(t) = s₁(t) + s₂(t) +…
соответствует спектр
. . .
S() = S₁() + S₂() +… (2.53)


6. Произведение двух сигналов

Пусть рассматриваемый сигнал s(t) является произведением двух функций времени f(t) и g(t), причем имеют место следующие соответствия:

. .
f(t)÷F(); g(t)÷G(). (2.54)
Тогда спектр произведения двух функций времени равен (с
коэффициентом ) свертке их спектров: и
(2.55)

Аналогично можно показать, что произведению двух спектров

. . .
F()G()=S() соответствует функция времени s(t), являющаяся сверткой функций f(t) и g(t):

(2.56)

Последнее выражение особенно широко используется при анализе передачи сигналов через линейные системы. В этом случае функции f(t) и g(t) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной.

. .
характеристики системы передачи, а F() и G() – спектральной плотности сигнала и передаточной функции системы.


2.7. Спектры непериодических сигналов

Как уже отмечалось, структура частотного спектра сигнала полностью определяется двумя характеристиками: амплитудно-частотной и фазо-

.
частотной, т.е. модулем и аргументом спектральной плотности S().
Определение указанных характеристик для функций s(t), отвечающих условию абсолютной интегрируемости, легко производится с помощью формул (2.36), (2.43), (2.44) и не требует дополнительных пояснений. Остановимся лишь на некоторых частных случаях, существенных для практического применения.


1. Сигнал в виде единичного скачка

Рассмотрим прежде всего единичный скачок (функцию включения), т.е. функцию, определяемую условиями (рис. 2.14):

(2.57)


Рис. 2.14. Сигнал в виде единичного скачка

∞
Для этой функции  s(t)dt  ∞, ввиду чего формулы (2.36) и (2.37) не

0
могут быть применены непосредственно. Можно, однако, легко обойти это затруднение, если искомую спектральную плотность функции s(t), заданной
. -at
выражением (2.57), представить как предел S() для функции s(t)e , где a – положительное число, стремящееся к нулю. Тогда в соответствии с преобразованием (2.36) искомая спектральная плотность для единичного скачка определится выражением:
(2.58)

т.е.
(2.58а)

Графики S() и () изображены на рис. 2.15.



.


Рис. 2.15. Модуль и аргумент спектральной плотности единичного скачка