F(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish

1. Teylor va Makloren qatorlari. Asosiy elementar funksiyalarni qatorlarga yoyish. Teylor va Makloren qatorlari. Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyish. Binomial qator.
TEYLOR
f(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish deb ataladi.
Faraz qilaylik, f(x) funktsiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:
f(x)=a<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>(x-x<sub>0</sub>)+a<sub>2</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>+…+a<sub>n</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>n</sup>+… (1)
(1) qatorning koeffisiyentlari va x<sub>0</sub> nuqtadagi hosilalarini f(x) funktsiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi f(x<sub>0</sub>) =x<sub>0</sub> (2)
dan iborat bo`ladi.
f(x) funktsiya x₀ nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, ni topamiz:
f`(x)=a₁+2a₂(x-x₀)+3a₃(x-x₀)²+…+na_n(x-x­₀)^n-1+… (3)
Bundan, x = x₀ bo`lgan holda
f`(x₀)=a₁ (4)
ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differentsiallab, quyidagini hosil qilamiz:
(5)
x = x<sub>0</sub> bo`lganda
. (6)
Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi:

MAKLOREN
Faraz qilaylik, berilgan f(x) funktsiya quyidagi darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:
(1)
Bundagi a₀, a₁, a₂, a₃,… lar aniqmas koeffisiyentlardan iborat. Shu koeffisiyentlarni berilgan f(x) funktsiya orqali ifodalaymiz. Darajali qatorni uning yaqinlashish oraligi da hadlab differentsiallaymiz:

Hosil bo`lgan tengliklar va (1) tenglikda x=0 deb, quyidagi a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,… larga ega bo`lamiz:
, , , , ,...
Bu qiymatlarni (1) qatorga qo`yamiz:
(2)
Hosil bo`lgan (2) qatorga Makloren qatori deyiladi.
YOYISH
1.f(x) =e^x funktsiyani x darajasi bo`yicha Makloren qatoriga yoyish.
Yechilishi: e<sup>x</sup> ning hosilalarini ketma–ket topamiz va x=0 nuqtada ularning qiy-matlarini aniqlaymiz:
, , , ,…
x=0 bo`lganda:
, , , ,…
Bu qiymatlarni Makloren qatoriga qo`ysak, quyidagi qator hosil bo`ladi:

_TEYLOR ko`phadni x–2 ning o`suvchi darajasi tartibida Teylor qatoriga yoying.
Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz:
, ,
Hosilalarning son qiymatini topish uchun x ning o`rniga 2 ni qo`yamiz, ya`ni x=2:
, , , .
Bu qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz: