Furye integrali va uning murakkab shakli

I BOB. FURYE QATORI HAQIDA UMUMIY MA’LUMOT

1. 
   Furye qatori haqida tushuncha
   

Davri 2 dan iborat bo`lgan f(x) funktsiya berilgan bo`lsin. Yig`indisi f(x) bo`lgan quyidagi yaqinlashuvchi trigonometrik qatorni topish talab qilinsin:
(1)
Agar bu masalaning yechimi mavjud bo`lsa, bu yechim yagona bo`lib, (1) qatorning koeffisiyenti Eyler – Furye formulalari yordamida topiladi:
va (2)
Hosil bo`lgan (2) qatorga f (x) funktsiya uchun Furye qatori deyiladi.
, (3)
Ko`rinishdagi qator tregonametrikqator deyiladi, bunda tregonametrik qator koeffisentlari deyiladi.
Bu qator ixtiyoriy da 2 davrga ega funksiyalardan tuzilgan, shuning uchun, agar u kesmada yaqinlashsa, da ham yaqinlashadi.
Agar da
(4)
Sistemaning bir xil bo`lmagan elementlari ko`paytmasidan integral olsak, natija nolga
(5)
bitta funksiya kvadrati integrali
(6)
ekanligini olamiz. Agar qaralayotgan funksiyalar evalit fazasida deyilsa, sistema elementlari o`zaro ortagonaldir.

(7)

Bundan tashqari,

(8)

Teorema. Agar funksiya da aniqlangan, integrallanuvchi va hadma-had integrallanadigan trigonametrik qatorga yoyilsa,
(9)
u holda yoyilma yagonadir. Isboti. Yoyilmani da integrallaymiz.
(10)
Demak. ko`rinishida topilar ekan.
(11)
Bundan, ko`rinishida bo`lishi kelib chiqadi. Yoyilmani sinkx ga ko`paytirib integrallasak,
(12)
kelib chiqadi, undan ko`rinishida ekanligi topiladi.
Demak, har bir koeffisenti yuqoridagi integrallar yordamida topiladigan funksiya yoyilamasi yagonadir.
Yuqaridagi koeffisentlari f(x) funksiyaning [ ] kesmadagi Fure koeffisentlari,
(13)
qator esa f(x) ning Fure qatori deyiladi.
2 davrli, [ ] f(x) bilan ustma- ust tushadigan, da davriy davomi F(x) ga yaqinlashadi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya [ ] da aniqlangan, juft bo`lsin,
U holda
bo`lib,

ko`rinishga ega bo`ladi.
Agar f(x) toq, f(-x)=-f(x) bo`lsa,
(15)
bo`lib,

ko`rinishini oladi.
Misol. 1) f(x)=x bo`lsin. U holda funksiyaning toqligidan

(16)

Demak, f(x) uchun Fure qatori

(17)
ko`rinishda bo`ladi , tenlik da o`rinli , da
olinadi. f(x)=x<sup>2</sup> bo`lsa,
(18)

ga mos Fure qatori da
(19)
bo`ladi.
Agar f(x) funksiya da yaqinlashgan 2 davrli funksiya bo`lsa, §= ko`rinishida yangi o`zgaruvchi kiritsak bo`lib, da bo`ladi, bunda
Eski o`zgaruvchilarga qaytsak,
(20)

ko`rinishida, Fure qatori esa

(21)
ko`rinish oladi. Davri 2 dan iborat bo`lgan quyidagi
(22)
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar integral mavjud bo`lsa, u holda, qatorning koeffisentlari uchun quyidagi Eyler–Furye formulalari o`rinli bo`ladi:
(bunda n=0,1,2,3,…)
(bunda n=1,2,3,…)
Oldingi paragrafdagi formulalar = bo`lganda kelib chiqadi.