Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi, hosilaning mexanik, geometrik, iqtisodiy, kimyoviy va boshqa talqinlari. Hosilani topish qoidalari. Funktsiyaning nuqtada differentsiallanuvchanligi, Hosilani topish qoidalari. Reja

◄ Funksiya hosilasining ta’rifidan foydalanib, topamiz:

Demak, ►
6.2–misol. funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi hosilasi hisoblansin.
◄ Berilgan funksiyaning nuqtadagi orttirmasi

bo’lib,

bo’ladi. Ma’lumki,

(qaralsin 5−bob). Unda limit o’rinli bo’ladi. Demak, .►
6.3–misol. funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi hasilasi hisoblansin.
◄ Bu funksiya uchun

bo’lib,

bo’ladi. Demak, ►
6.4–misol. funksiyaning nuqtadagi hosi-lasi topilsin.
◄ Bu funksiyaning hosilasi o’zgaruvchining ushbu

funksiya bo’ladi.►
2−ta’rif. Agar

mavjud va chekli bo’lsa, bu limit funksiyaning nuqtadagi o’ng (chap) hosilasi deb ataladi. Funksiyaning nuqtadagi o’ng (chap) hosilasi kabi belgilanadi.

Odatda funksiyaning o’ng va chap hosilalari bir tomonli hosilalar deb ataladi.
Masalan, funksiya uchun bo’ladi. Demak, funksiyaning nuqtadagi o’ng hosilasi ga, chap hosilasi ga teng.
1−eslatma. Agar da nisbatning limiti aniq ishorali cheksiz bo’lsa, uni ham funksiyaning nuqtadagi hosilasi deb yuritiladi. Bunday holda funksiyaning nuqtadagi hosilasi ga teng deyiladi.
Hosilaning geometrik va mexanik ma’nolari.
a). Hosilaning geometrik ma’nosi. funksiya intervalda uzluksiz bo’lib, nuqtada hosilaga ega bo’lsin:
.
funksiyaning garafigi biror chiziqni ifodalasin deylik. (30-chizma).
Endi chiziqqa uning nuqtasida urinma o’tkazish masalasini qaraymiz.
chiziqda nuqtadan farqli nuqtani olib, bu nuqtalar orqali kesuvchi o’tkazamiz. kesuvchining o’qi bilan tashkil etgan burchagini bilan belgilaylik. Ravshanki, burchak ga bog’liq bo’ladi: .
Agar kesuvchining nuqta chiziq bo’ylab ga intilgandagi (ya’ni dagi) limit holati mavjud bo’lsa, kesuvchining bu limit holati chiziqqa nuqtada o’tkazilgan urinma deb ataladi. Urinma – to’g’ri chiziqdan iborat.
Ma’lumki, nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq nuqtaning koor-dinatalari hamda bu chiziqning burchak koeffitsienti orqali to’liq aniqlanadi.
funksiya grafigiga nuqtada o’tkazilgan urinma mavjud bo’lishi uchun

limitning mavjudligini lo’rsatish yetarli, bunda urinmaning o’q bilan tashkil etgan burchagi. dan
,
bundan esa

bo’lishini topamiz. funksiyaning uzluksizligidan foydalansak,

bo’lishi kelib chiqadi. Demak, mavjud va

bo’ladi. Keyingi tenglidan

bo’lishini topamiz. Shunday qilib, funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsa, bu funksiya grafigiga nuqtada o’tkazilgan urinma mavjud. Funksiyaning nuqtasidagi hosilasi esa bu urinmaning burchak koeffitsientini ifodalaydi. urinmaning tenglamasi esa ushbu

ko’rinishda bo’ladi.
b). Hosilaning mexanik ma’nosi. Moddiy nuqtaning harakati qoida bilan ifodalangan bo’lsin, bunda vaqt, shu vaqt ichida o’tilgan yo’l (masofa). Bu qonun bo’yicha harakat qilayotgan nuqtaning momentdagi oniy tezligini topish masalasini qaraylik.