Funktsiya hosilasi va differensiali. Funksiyani to’liq teksirih Reja

5. Funksiyaning differensiallanuvchiligi.

3-ta‘rif. Agar funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, u shu nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi.

4-ta‘rif. Agar funksiya intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo’lsa, u shu intervalda differensiallanuvchi deb ataladi.

Funksiyaning uzluksizligi va differensiallanuvchiligi orasidagi bog’lanishni ko’rsatadigan teoremani isbotlaymiz.

1-teorema. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u shu nuqtada uzluksizdir.

Isboti. funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lgani uchun

chekli limit mavjud. Buni limitning xossasi (16.5-teorema) dan foydalanib

ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda da -cheksiz kichik funksiya. Bundan va .

Demak, va funksiya nuqtada uzluksiz. Shunday qilib funksiyaning chekli hosilaga ega ekanligidan uning uzluksizligi kelib chiqar ekan.

Teskari da‘vo, umuman aytganda, to’g’ri emas, chunonchi nuqtada uzluksiz, biroq bu nuqtada hosilaga ega bo’lmagan funksiyalar ham mavjud.

=

funksiyani qaraymiz. Bu funksiya butun sonlar o’qida, jumladan х₀=0 nuqtada ham uzluksiz (100-chizma), chunki ; va .

100-chizma

Bu funksiyaning х₀=0 nuqtada hosilaga ega emasligini ko’rsatamiz.

va

Shunga o’xshash . Shunday qilib nisbat х=0 nuqtada har xil bir tomonlama limitlarga ega. Bu nisbat х₀=0 nuqtada limitga emasligini, ya‘ni hosilaning mavjud emasligini ko’rsatadi.

Demak, funksiyaning biror nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada chekli hosilaga ega ekanligi(differensiallanuvchiligi) kelib chiqmas ekan.