Funksiyaning uzluksizligi

Uzluksiz funksiyalarga doir teoremalar
1. x₀ nuqtaning yetarli kichik atrofida funksiya chegaralangan bo`ladi.
2. Agar f(x₀)¹0 bo`lsa, x<sub>0</sub> nuqtaning yetarli kichik atrofida f(x) o’z ishorasini saqlaydi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya X to`plamda va z=j(y) funksiya Y to`plamda aniqlangan bo`lib, ular yordamida z=j(f(x)) murakkab funksiya tuzilgan bo`lsin.
Teorema (murakkab funksiya uzluksizligi haqida). Agar f(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada, z=j(y) funksiya x<sub>0</sub> ga mos kelgan f(x<sub>0</sub>) nuqtada uzluksiz bo`lsa z=j(f(x)) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo`ladi.
Teorema (Boltsano-Koshining 1-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, segmentning a va b nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarga ega bo`lsa, u holda shunday c (a<c<b) nuqta topiladiki, u nuqtada funksiya 0 ga aylanadi, f(c)=0.
Teorema (Veyershtrassning 1-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, u holda shu segmentda chegaralangan bo`ladi.
Teorema (Veyershtrassning 2-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda o`zining aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga erishadi.
Misol. Ushbu f(x)= funksiyani uzluksizlikka tekshiring
Yechish. Ma’lumki,
bundan foydalanib,
x=0 nuqtada funksiya aniqlanmagan bo`lib,  ,  munosabatlar o`rinlidir, bu esa ta’rifga ko’ra x=0 nuqta f(x) funksiya uchun 2 tur uzilish nuqtasi ekanligini bildiradi.