|
1-misol. Ushbu f(x)= funksiyaning x0=5 nuqtada uzluksiz ekanini ko`rsating.
Yechish. "e > 0 son olib, bu e songa ko`ra d >0 soni d = 4e bo`lsin deb qaralsa, u holda |x-5|<d bo`lganda
bu esa qurilayotgan funksiyaning x0=5 nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi.
2-ta’rif (Geyne ta’rifi). Agar X to`plamning elementlaridan tuzilgan va x0 ga intiluvchi har qanday {xn} ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos {f(xn)} ketma-ketlik hamma vaqt yagona f(x0) ga intilsa, f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Agar munosabat o`rinli bo`lsa, ushbu munosabat ham o`rinli bo`ladi.
Odatda x-x0 ayirma argument orttirmasi, f(x)-f(x0) esa funksiyaning x0 nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Ular mos ravishda Dx va Dy (Df(x0)) kabi belgilanadi, ya’ni: Dx=x-x0, Dy=Df(x0)=f(x)-f(x0).
Demak, x=x0+Dx, Dy=f(x0+Dx)-f(x) natijada, munosabat ko`rinishga ega bo’ladi.
Shunday qilib, f(x) funksiyaning x0 nuqtada uzluksizligi bu nuqtada argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin.
Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi Dx®0 dа ungа mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi Dy®0 bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x0 da uzluksiz dеyilаdi vа Dy=0 kabi yozilаdi. x=x0+Dx, Dx=x-x0, Dy=f(x0+Dx)-f(x0), Dy=f(x)-f(x0)
Dy= (f(x0+Dx)-f(x0))= (f(x0+x-х0)-f(x0))= (f(x)-f(x0))=0 Misоllar
1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rsаtilsin.
y+Dy=2(x+Dx)+1, ayirmani topamiz Dy=2x+2Dx+1-2x-1, Dy=2Dx
Dy= 2Dx =0
2) y=x3
y+Dy=(x+Dx)3
Dy=x3+3x2Dx+3x(Dx)2+Dx3 Dy=x3+3x2Dx+3xDx2+Dx3-x3
Dy=Dx(3x2+3xDx+Dx2)
Dy= (3x2+3xDx+Dx2)Dx=0.
3) f(x)=cosx funksiyaning "x0ÎR nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.
Yechish. "x0ÎR nuqtani olib unga Dx orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu Dy=cos(x0+Dx)-cosx0 orttirmaga ega bo`lib,va -p<Dx<p bo`lganda
|Dy| = |cos(x0+Dx) - cosx0|=
munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa Dx®0 da Dy®0 bo`lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya xÌR to`plamda aniqlangan bo`lib, x0(x0ÎX) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda x®x0 da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:
1) chekli f(x0-0), f(x0+0) chap va o`ng limitlar mavjud va
f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x0 da uzluksiz bo`ladi;
2) f(x0-0), f(x0+0) lar mavjud, lekin f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)®x=x0 nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;
3) f(x0-0), f(x0+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x0 nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f(x0-0)=f(x0+0)¹f(x0) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.
Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x0=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.
Yechish. Demak, [x]=1, =2
Bundan esa berilgan funksiyaning x0=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.
Uzluksiz funksiyaning xossalari
Berilgan f(x) va q(x) funksiyalar X to`plamda aniqlangan bo`lib, x0ÎX nuqta X to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
1-teorema. Agar f(x) va q(x) funksiyalar x0 nuqtada uzluksiz bo`lsa u holda f(x)±q(x), f(x)×q(x), : (q(x)¹0), "xÎX funksiyalar ham x0 nuqtada uzluksiz bo’ladi.
1-misol. Ushbu f(x)=3x3+sin2x funksiyaning x=R da uzluksizligini ko`rsating.
Yechish. j(x)=x, q(x)=sinx funksiyalar R uzluksiz. Bunda f(x) funksiyani f(x)=3×x×x×x+sinx×sinx ko`rinishda yozamiz, u holda uzluksiz funksiyalar ustidagi arifmetik amallarga ko`ra, f(x) funksiyaning R da uzluksizligi kelib chiqadi.
2-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda [a;b] kesmada funksiya o`zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya’ni shunday nuqtalar mavjudki, barcha lar uchun va tengsizliklar o`rinli bo`ladi.
Funksiyani qiymatini y=f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati deb, ni esa eng kichik qiymati deb ataymiz. Bu teorema qisqacha bunday ifodalanadi: kesmada uzluksiz
funksiya hech bo`lmaganda bir marta eng katta M qiymatga va eng kichik m qiymatga erishadi.
3-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lib, bu kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda [a,b] kesmada hech bo`lmaganda shunday bir x=c nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya nolga aylanadi: f(c)=0; a.
Misol. funksiya berilgan. Bu funksiya [1; 2] kesmada uzluksiz. Demak, bu kesmada nolga aylanadigan nuqta mavjud. Haqiqatdan ham da y=0
4-Teorema. y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lsin. Agar kesmaning uchlarida funksiya teng bo`lmagan f(a)=A, f(b)=B qiymatlarni qabul qilsa, u holda funksiya A va B sonlar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda A< shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy son uchun kamida bitta cÎ[a;b] nuqta mavjudki, unda tenglik to`g`ri bo`ladi.
3-teorema bu teoremaning xususiy holi, chunki A va B lar turli ishoralarga ega bo`lsa, u holda ni o‘rnida O ni olish mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
