Funksiya differensiali’’

4-misol
Agar bo‘lsa ni hisoblang
► ,
◄

Differensial hisobning asosiy teoremalari.

1-teorema (Roll teoremasi). funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Agar funksiya intervalda differensiallanuvchi bo‘lib, tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda kamida bitta shunday bir nuqta topiladiki, bo‘ladi.

2-teorema (Lagranj teoremasi). funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, intervalda differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda kamida bitta shunday bir nuqta topiladiki, tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Bu tenglikga Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi.
Teoremani geometrik izohlaydigan bo‘lsak, uning har bir sharti o‘rinli bo‘lganda, funksiya grafigida va nuqtalarini tutashturuvchi yoyiga tegishli hech bo‘lmaganda bitta nuqta topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o‘ tkazilgan urinma vatarga parallel bo‘ladi.
3-teorema(Koshi teoremasi). va funksiyalar kesmada uzluksiz bo‘lib, intervalda differensiallanuvchi va , bo‘lsa, u holda kamida bitta shunday bir nuqta topiladiki, tenglik o‘rinli bo‘ladi.
funksiya to’plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, , , va nuqtalar to‘plamga tegishli bolsin, bu yerda argumentlarning orttirmalari.
va
ayirmalarga funksiyaning nuqtadagi va o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy orttirmalari deyiladi.
ayirmaga
funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasi deyiladi.
Misol. funksiyaning nuqtadagi xususiy va to‘liq orttirmalarini va lar uchun topamiz:






1-ta’rif. Agar nisbatining dagi limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deyiladi va ko‘rinishlarda belgilanadi.
Demak,
.
funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi shu kabi ta’riflanadi:
.
( ) o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi.
Misollar. 1. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:


2. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:

funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini aniqlaymiz.
funksiya nuqtaning biror atrofda aniqlangan bo‘lsin.
2-ta’rif. Agar funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasini
(1)
ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, bu yerda ga bog‘liq bo‘lmagan sonlar,
da