Funksional ketma-ketliklar va ularning yaqinlashuvchanligi

Misol. qatorning yaqinlashishini tekshiring va uning yig`indisini toping.
Yechish. Bu qator x ning hamma qiymatlarida yaqinlashuvchi. Haqiqatdan ham, x≠0 bo`lganda berilgan qator maxraji , 0
Agar x=0 bo`lsa, berilgan qatorning hamma hadlari nolga teng bo`lib yaqinlashuvchi va S(0)=0/ shunday qilib,

Bu misoldan ko`rinadiki qatorning hamma hadlari Rda uzluksiz, qator esa yaqinlashuvchi, lekin qatorning yig`indisi uslishga ega.
Biz bundan keyin qanday shartlar bajarilganda hadlari uzluksiz funksiyalardan iborat yaqinlashuvchi funksional qatorning yig`indisi uzliksiz bo`ladi degan masala bilan shug`illanamiz.
(4) funksional qatorni qaraymiz. Bunda f<sub>n</sub>(n) funksiyalar X to`plamda berilgan bo`lib, x<sub>0</sub>єX bo`lsin.
Ta`rif. Agar (5) funksional qator x=x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
Ta`rif. Agar X to`plamning har bir nuqtasida (5) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator X to`plamda absolyut yaqinlashuvchi deb ataladi/
Ta`rif. Agar x=x<sub>0</sub> nuqtada (4) qator yaqinlashuvchi bo`lib, (5) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator x=x<sub>0</sub> nuqtada shakli yaqinlashuvchi deyiladi.
Argument x ning (4) va (5) qatorlar yaqinlashadigan qiymatlari to`plami mos ravishda (4) qatorning yaqinlashish va absolyut yaqinlashish sohasi deyiladi.
Misol. funksional qatorning yaqinlashishi va absolyut yaqinlashish sohasi topilsin.
Yechish. Ma`lumki qator bo`lganda absolyut yaqinlashuvchi, bo`lganda uzoqlashuvchi q=-1 bo`lganda qator shartli yaqinlashuvchi, q=1 bo`lganda uzoqlashuvchi.
Shuning uchun, agar ya`ni bo`lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi. Lnx=-1 ya`ni x=e^-1 nuqtada berilgan qator shartli, x ning boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo`ladi.
Javob: Berilgan qatorning yaqinlashish sohasi [e^-1,e), absolyut yaqinlashish sohasi (e^-1,e) entervaldan ibotar.

Ushbu
(2)

ko`rinishdagi funktsional qator markazi c nuqtada bo`lgan darajali qator deyiladi.
Bu yerda a , a , ..., a_n, ... va c – o`zgarmas sonlar bo`lib, darajali qatorning koeffitsientlari va markazi deyiladi.
Quyidagi uchta hol bo`lishi mumkin:
1) (2) darajali qator faqat x = c da yaqinlashadi. Bunday qatorni barcha nuqtalarda uzoqlashuvchi deyiladi.
2) (2) darajali qator x ning har bir qiymatida yaqinlashadi. Bunday qatorni barcha nuqtalarda yaqinlashuvchi deyiladi va u absolut yaqinlashadi.
3) Shunday R > 0 soni mavjudki, (2) qator da absolut yaqinlashuvchi va da esa uzoqlashuvchi bo`ladi. R qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi. R = 0 barcha nuqtalarda uzoqlashuvchi va R = barcha nuqtalarda yaqinlashuvchi qatorning yaqinlashish radiusini ifodalaydi. R > 0 da (c - R, c + R) intervalni (2) qatorning yaqinlashish intervali deyiladi. Shuning bilan birga intervalning chetki nuqtalarida darajali qator yaqinlashuvchi ham uzoqlashuvchi ham bo`lishi mumkin.
Misol. Quyidagi

darajali qatorning yaqinlashish sohasini toping.
Yechish. Dalamber alomatiga ko`ra tekshiramiz:
,

d < 1 bo`lganda qator yaqinlashadi :
, , x va demak R = 3.
Qator yaqinlashishini intervalning chetki nuqtalarida tekshiramiz:
1) x = - 3 bo`lganda qator

yaqinlashuvchi sonli qatorga aylanadi. Aniqrog`i shartli yaqinlashadi.
2) x = 3 da

uzoqlashadi. Demak, yaqinlashish sohasi [-3;3) ni tashkil etadi.
Darajali qator quyidagi xossalarga ega:
1 . Agar darajali qator oraliqning barcha nuqtalarida uzoqlashuvchi bo`lmasa, u holda uning yig`indisi yaqinlashish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz bo`ladi.
2 . Agar x   da
a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub>(x-c) + a<sub>2</sub>(x-c)<sup>2</sup> + ... + a<sub>n</sub>(x-c)<sup>n</sup> + ... = ,
bo`lsa, darajali qatorni yaqinlashish sohasining ichki nuqtalarida hadma-had integrallash mumkin:

3 . Agar x (c - R, c + R) , R > 0 da

a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + ... + a_n(x - c)ⁿ + ... = ,
bo`lsa, darajali qatorni yaqinlashish sohasining ichki nuqtalarida hadma-had differensiallash mumkin, ya`ni
, x (c - R , c + R)
4 . Agar ushbu
a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + ... + a_n(x - c)ⁿ + ...
darajali qator oraliqning barcha nuqtalarida uzoqlashuvchi bo`lmasa, u holda buning yig`indisi yaqinlashish sohasining ichki nuqtalarida barcha yuqori tartibli hosilalarga ega bo`ladi. Shu bilan birga:
, , ,..., , ... bo`ladi.
Funktsiyani darajali qatorga yoyish.
Agar funksiya x = c da barcha yuqori tartibli hosilalarga ega bo`lsa, u holda funksiya uchun
(3) darajali qator Teylor qatori deb ataladi. c = 0 bo`lgan holda (3) qatorni Makloren qatori deb ataladi.
(3) darajali qator funksiyaga yaqinlashishining zaruriy va yetarli sharti bo`lib,

xizmat qiladi. Bu yerda

Ba`zi funksiyalarni darajali qatorga yoyish jadvali.
Funksional qatorlarning muhim xususiy holi darajali qatorlardir.
Ta`rif. Quyidagi a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ+… (1) yoki a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+… (2) ko`rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi, bunda a<sub>K</sub>(K=0,1,2,…) o`zgarmas sonlar darajali qatorning koeffitsentlari deyiladi.
Teorema (Abel teoramasi).
1) Agar (2) darajali qator noldan farqli biror x₀ qiymatda yaqinlashuvchi bo`lsa x ning tengsizlikni qanoatlanturuvchi har qanday qiymatlarida (2) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
2) Agar (2) qator x₁ qiymatda uzoqlashuvchi bo`lsa, x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatlarida (2) qator uzoqlashuvchi bo`ladi
(Isboti [1], 110-111 betlar)