Функциянинг монотонлиги

6-теорема. Мейли функция көпликте берилген болып, төмендеги шәртлерин орынлансын:
1) туўынды бар;
2) ;
3) туўынды точканың оң ҳәм шеп тәреплеринде белги сақлансын.
Егер туўынды точканы өтиўде белгисин өзгертсе, функция точкада экстремумға ериседи.
Егер туўынды точканы өтиўде белгиси өзгермесе функция точкада экстремумға ериспейди.
◄ Мейли

болсын. Булл жағдайда өсиўши, ямаса кемейўиши, ямаса болып, болады. Демек, бул жағдайда функция точкада максимумға ериседи.
Мейли

болсын. Бул жағдайда кемейиўши, ямаса өсиўши, болып, да болады.
Демек, бул жағдайда функция точкада минимумға ериседи.
Егер ямаса да , да болса, онда функция да өсиўши ямаса да кемейиўши болып функция точкада экстремумға ериспейди. ►
7-теорема. функция көпликте берилген болып, төменднгише шәртлерин орынласын:
1)
2) туўынды бар ҳәм шекли;
3) туўынды точканын оң ҳәм шеп тәреплеринде белги сақлансын.
Егер туўынды точканы өтиўде белгисин өзгертсе, функция точкада экстремумға ериседи.
Егер туўынды точканы өтиўде белгисин өзгертпесе, функция точкада экстремумға ериспейди.
Бул теорема жоқарыдағы 6-теорема көринисте дәллиленеди.
8-теорема. Мейли функция көпликте берилген ҳәм болып, төмендеги шәртлерди орынласын:
1) туўынды бар;
2) туўынды бар;
3)
Бул жағдайда болғанда функция точкада экстремумға ерисип, болғанда точкада максимумға, да минимумға ериседи.
Егер болса, функция точкада экстремумга ериспейди.
◄ функцияның точкадағы Тейлор формуласы

аламыз. Бул формула теореманың шәртине

көриниске келеди. Буннан да

болыўы келип шығады.
« » ның анықламасына муўапық сан ушын точкаларда

болады. Демек, ушын

шамалар бир қыйлы белгили болады. Буннан да

белгиси айырманың белгиси менен бир қыйлы болыўы келип шығады.
Егер болып, болса, онда , ямаса болады. функция точкада минимумға ериседи.
Егер болып, болса, онда , ямаса болады. функция точкада максимумға ериседи.
Егер болса, айырма белги сақламайды. Бул жағдайда функция точкада экстремумға ериспейди. ►
Тийкарынан егер точка функцияның стационар точкасы болып, функция точкада шекли туўындыға ийе болса, бул точкада функция болғанда максимумға, минимумға ийе болады.