Функциянинг монотонлиги

Функцияның монотонлығы. Функцияның экстремумлары


1⁰. Функцияның монотонлығы. Мейли функция да берилген болсын.
Буннан,
, ушын болса, функция да өсиўши (қатаң өсиўши), ушын болса, функция да кемейиўши (қатаң кемейиўши) делинеди.
1-теорема. Мейли функция да берилген болып, да туўындыға ийе болсын.
функцияның да өсиўши болыўы ушын да

болыўы зәрүрли ҳәм жеткиликли.
◄ Зәрүрлиги. функция да өсиўши болсын. Онда болғанда

болады. Туўынды анықламасынан пайдалнып төмендегини табамыз:
.
Жеткиликлилиги. Мейли да бар болып, болсын. да функцияға Лагранж теоремасын қоллап табамыз:

Демек, өсиўши. ►
Тап усыған уқсас, төмендеги теорема дәллиленеди.
2-теорема. Мейли функция да берилген болып, да туўындыға ийе болсын. функция да кемейиўши болыўы ушын да

болыўы зәрүр ли ҳәм жеткиликли.
Сондай-ақ төмендеги теоремаларын дәллилеў қыйын емес.
3-теорема. функция да берилген болып, да туўындыға ийе болсын. функцияның да қатаң өсиўши болыўы ушын
1) да .
2) да теңлик орынланатуғын интервалдың болмаўы шәртлердиң орынланыўы зәрүрли ҳәм жеткиликли.
4-теорема. функция да берилген болып, да туўындыға ийе болсын. функцияның да қатаң кемейиўши болыўы ушын
1) да ,
2) да
теңлик орынланатуғын интервалдың болмаўы шәртлерди орынланыўы зәрүрли ҳәм жеткиликли.
Демек, да
өсиўши
кемейиўши
қатаң өсиўши
қатаң кемейиўши
болады.
1-мысал. Бул

функцияның өсиўши, кемейиўши болыў аралықларын табың.
◄Буннан,

болады.
Бул теңсизлик да орынлы болады. Демек, функция да өсиўши, да кемейиўши болады. ►