Funkciyalardı Nyuton formulaları járdeminde approksimaсiyalaw Joba

Funkciyalardı Nyuton formulaları járdeminde approksimaсiyalaw
Joba :

1. Algebraliq interpolyaciyalaw máselesiniń qoyılıwı

2. Interpolyaciyalaw qateligi

3. Nyuton interpolyacion kóp aǵzalıları

4. Teris interpolyaciyalaw

5. Nyutonnıń birinshi interpolyacion formulası

6. Nyutonnıń ekinshi interpolyacion formulası
Kópshilik esaplaw usılları máseleniń qoyılıwında qatnasatuǵın funkciyalardı oǵan qandayda bir arnawlı bir mániste jaqın hám dúzilisi ápiwayılaw bolǵan funkciyalarǵa almastırıw ideyasına tiykarlanǵan.

Interpolyaciya máselesiniń mánisi tómendeginen ibarat. Meyli y=f(x) funkciya keste kórinisinde berilgen bolsın:

Y_o=f(x₀), y ₁=f(x₁) ..... ,y_n=f(x_n)

Ádetde interpolyaciyalaw máselesi tómendegishe kóriniste qoyıladı: Sonday n-tártipten aspaǵan P (x)*Pn{x) kóp aǵzalılar tabıw kerek, P(x_i) berilgen x_i= (i=0, 1,.. .. n) noqatlarda f (x) penen bir qıylı manis qabıllasin, yaǵnıy P(x_i)=y_i. Bul máseleniń geometriyalıq mánisi tómendeginen ibarat : dárejesi n nen artpaytugin sonday у=Р_n(х)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1 ...+ а_n (1)

kóp aǵzalılar bolsin, onıń grafigi berilgen M (x_i, u_i ) (i=0, 1, … n) noqatlardan otsin (1- súwret). Bul jerdegi x_i(i=0, 1, 2,.. n) noqatlar interpolyaciya tuyinli noqatları yamasa tuyinler dep ataladı. R(x) bolsa interpolyaciyawshi funkciya dep ataladı.

(1- súwret)

Ámelde tabılǵan R(x) interpolyacion formula f(x) funkciyanıń berilgen x argumenttin (interpolyaciya shegi emes ) manislerin esaplaw ushın qollanıladı. Bul funkciyanı interpolyaciyalaw dep ataladı. (Eger xϵ (a, b) bolsa interpolyaciyalaw x ϵ[a, b] bolsa, ekstrapolyaciyalaw dep ataladı ). Biz f(x) funkciyanı interpolyacion L_n(x) kóp aǵzalılarǵa almastırganimizda ω_n(x) = f(x)-L_n(x),

qátelikke jol qoyamız. Bul interpolyaciyalaw qateligi dep ataladı. Tuyinli noqatlarda qátelik nolge teń. [a, b ] ga tiyisli qálegen x noqattaǵı ańlatpasın tabamız hám bahalaymiz. Bunıń ushın tómendegi funkciyanı qaraymız :

(1)

Bul jerde zϵ[a, b], K- ózgermeytuǵın hám

(2)

(1) dagi ozgermes K ni λ (x) = 0 shártinen tabamız :

(3)

F(z) funkciya [a, b] de n + 1 ret úzliksiz differensiallaniwshi bolsın deymiz. λ (z) funkciya [a, b] de n + 2 noqatda nolge teń, olar x, x₀, x₁,.. ., x_n. Roll teoremasina tiykarlanip, λ ' (z) [a, b ] ga tiyisli n + 1 da, λ” (z) n ta nolge ten boladı hám taǵı basqa. λ⁽ⁿ⁺¹⁾(z) [a,b] da keminde bir nolge iye boladı, yaǵnıy λ⁽ⁿ⁺¹⁾() = 0, €[a ,b ] (1) dan n + 1 ret tuwındı alıp,z = , desek, tómendegine iye bolamiz:

(4)

(3) hám (4) ten

(5)

kelip shıǵadı. Bunnan

(6)

buǵan iye bolamız, bunda M_n+1=sup|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|

[a,b]

Bizge [a, b] de anıqlanǵan f (x) funkciyanıń [a, b ] ga tiyisli túrli {x_k}_k=0ⁿ noqatlarda bahaları belgili bolsın. Tómendegishe anıqlanǵan

muǵdarlar birinshi tártipli ayırmalar qatnası dep ataladı, olar járdeminde anıqlanǵan

muǵdarlar ekinshi tártipli ayırmalar qatnası dep ataladı.

Joqarı tártipli ayırmalar qatnası da sonday anıqlanadı, mısalı,

k-tártipli f(x_i,x_i+1,…,x_i+k) ham f(x_i+1,x_i+2,…,x_i+k+1) ayırmalar qatnası belgili bolsa, (k + 1) -tártipli ayırmalar qatnası

anıqlanadı, i = 0, 1,.. ., n-k-1

Ayırmalar qatnası tómendegi qasiyetlerge iye.

1-qasiyet. Algebraliq jıyındıdan alınǵan ayırmalar qatnası qosıliwshilardan alınǵan ayırmalar koefficientlerdiń jıyındısına teń.

2-qasiyet. Ozgarmes ayırmalar qatnasın belgisinen sirtqa shıǵarıw múmkin.

3-qasiyet. Ayırmalar qatnası oz argumentlerine salıstırǵanda simmetrik funkciya bolıp tabıladı.

4-qasiyet. m-dárejeli algebraliq kop agzalidan alınǵan k-tártipli ayırmalar qatnası, eger k>m bolsa nolge, k = m de ózgermeytuǵın hám k< m bolsa argumentlarine salıstırǵanda (m - k ) - dárejeli simmetrik birdeneli kop agzailiga teń.

Meyli y=f (x) funksiya ushın y₁= f (x) manisler berilgen hám interpolyaciya tuyinleri teń uzaqlıqta jaylasqan bolsın, yaǵnıy x_i=x₀+ih (i=0, 1, 2,.. .. h) (h- interpolyaciya qádemi). Argumenttin mas manislerinde dárejesi h den aspaytuǵın mas manisler alatuǵın kóp aǵzalılar dúziw kerek bolsın hám bul kóp aǵzalılar tómendegi kóriniske iye bolsın:

P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+..+a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1) (7)

Bul n-tártipli kóp aǵzalılar. Interpolyaciya máselesindegi shártke kóre P_n(x) kop agzali x₀, x₁ ..., x_n interpolyaciya tuyinlerinde

P_n(x₀)=y₀,P_n(x ₁)=y ₁, P_n(x₂)=y₂ .... , P_n(x_n)=y_n manislerdı qabıl etedi, x=x₀ dep oylasaq, (7) formuladan y₀=P_n(x₀)=a₀, yaǵnıy a₀=u₀, keyininen x ga x₁ hám x₂ lardin manislerdin berip, tómendegige iye bolamız :

yaǵnıy

yaki y₂-2y₁+y₀=2h²a₂, bunnan

procesti dawam ettirip, x=x_n ushın tómendegi ańlatpanı payda etemiz:

Tabilgan a₀, a₁, a₂, …, a_n koefficientlerdiń bahaların (7) formulaǵa qoysaq,

(8)

kóriniske iye balamız. Bul formulada

yaǵnıy x=x₀+hq belgilew kiritilse, ol halda

nátiyjede Nyutonnıń 1-interpolyacion formulasına iye bolamız :

(9)

Nyutonnıń 1- interpolyacion formulasın [a, b] dıń baslanǵısh noqatlarında qollaw qolay.

Eger n=1 bolsa, ol jagdayda P₁(x) = y ₀ +qy₀ kórinisidegi sızıqlı interpolyacion formulaǵa, n=2 bolganda bolsa

kórinistegi parabolik interpolyacion formulaǵa iye bolamız.

Nyutonnıń 1- formulasin aldınǵa qaray interpolyaciyalaw formulası dep te ataladı.

(9) formulanıń qaldıq agzasi

(10)

Bul jerde ϵ[x₀,x_n].

Funksiyanıń analitik kórinisi hár waqit belgili bola bermeydi. Bunday jaǵdaylarda shekli ayırmalar duzilip,

dep alınadı. Ol jagdayda Nyutonnıń birinshi interpolyacion formulası ushın qátelik

(11)

formula arqalı tabıladı.

Nyutonnıń birínshi interpolyacion formulası kesteniń basında hám ekinshi formulası bolsa kesteniń aqırında interpolyaciyalaw ushın mólsherlengen. Nyutonnıń ekinshi interpolyacion formulasın keltirip shıǵaramız.

Meyli y=f(x) funksiyanıń n+1 da ma`nisi belgili bolsin, yaǵnıy argumenttin n=1 x₀, x₁, x₂,... x_n manislerinde funkciyanıń manisleri y₀, y₁,... y_n bolsın. Túyinler arasındaǵı aralıq h ózgermeytuǵın bolsın. Tómendegi kórinistegi interpolyacion kóp aǵzalılardı quramız:

(12)

Bunda qatnasıp atırǵan a₀, a₁.... a_n belgisiz koefficientlerdi tabıwdı x=x_n bolǵan jagdaydan baslaw kerek. Keyin argumentke x_n-1, x_n-2,... manisler berip, qalǵan koefficientler anıqlanadı.

Nyutonnıń birinshi interpolyacion formulasında kórilgenlerdi (12) formula ushın da qollasaq belgisiz koefficiyentler a₁, a₂,.. .. a_n lardi tabıw ushın tómendegilerdi payda etemiz:

Tabılǵan koefficiyentlerdiń manilerin (12) formulaǵa qóysaq,

(13)

kórinistegi Nyutondıń ekinshi interpolyacion formulası kelip shıǵadı. Bul formulada q={x-x_n)/h belgilew kiritsek,

(14)

payda boladı. Geyde bul formulanı keyinge qaray interpolyaciyalaw formulası dep te ataladı. (14) formuladan [a, b] kesindinin aqırǵı noqatlarında paydalanıw qolaylaw bolıp esaplanadi.

Nyutonnıń ekinshi interpolyacion formulasınıń qaldıq agzasin esaplaw formulası tómendegishe baladı :

Bul jerde q=(x-x_n)/h,ϵ [x₀, x_n].

Eger funkciyanıń analitik kórinisi belgili bolmasa, onda shekli ayırmalar duzilip,

dep alınadı. Sonıń ushın Nyutonnıń ekinshi interpolyacion formulası ushın qátelik formulası

boladı.