Fundamental ketma-ketliklar

Qismiy ketma-ketlik.
Bizga (x_n) ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Bu ketma-ketlikning n₁ nomerli x , n₂ nomerli x ,..., n_k nomerli x va xakozo hadlarini olsak, x ,x ,..,x ,... ketma-ketlikka ega bo’lamiz. Bu yerda n₁₂₃<...
(x ) ketma-ketlik (x_n) ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi.
Misol.
1, -1, 1, -1,...(-1)ⁿ⁺¹, ... ketma-ketlik uchun
1, 1, 1, ...
-1, -1, -1, ... larning har biri qismiy ketma-ketlik bo’ladi.
Agar (x_n) ketma-ketlik limitga ega bo’lsa, u holda (x ) qismiy ketma-ketlik ham o’sha limitga ega bo’ladi. Bu limit ta’riflardan kelib chiqadi. Aksincha, qismiy ketma-ketlik limitga ega bo’lishidan berilgan ketma-ketlikning limitga ega bo’lishi kelib chiqavermaydi.
Masalan, limiti 1 ga teng bo’lgan 1, 1, 1, ..., 1, ... yaqinlashuvchi ketma-ketlik limitga ega bo’lmagan 1, -1, 1, -1, ..., (-1)ⁿ⁺¹ , ... ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi bo’ladi.
Izoh. Ketma-ketlikning qismiy limiti deb shunday son (yoki ∞ simvoliga) aytiladiki, unga intiladigan qismiy ketma-ketlik mavjud bo’lsa. Qismiy limitlardan eng kattasi ketma-ketlikning yuqori limiti deyiladi va orqali belgilanadi. Quyi limit xuddi shunday ta’riflanadi.
Ravshanki, qismiy limit ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’ladi va ixtiyoriy ketma-ketlik yuqori va quyi limitlarga ega.
Teorema (Bol’tsano-Veyershtrass). Har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin.
Isbot. (x_n) chegaralangan ketma-ketlik bo’lsin. Bu holda uni barcha hadlarini saqlovchi [a₁;b₁] segment mavjud. Bu segmentni teng ikkiga bo’lamiz: , hosil bo’lgan segmentlarning kamida biri (yoki ikkalasi ham) ketma-ketlikning cheksiz ko’p hadlarini o’zida saqlaydi.
Bu segmentlardan (x_n) ketma-ketlikning cheksiz ko’p hadlarini o’zida saqlaganini (ikkalasi bo’lganda, masalan chapdagisini) [a₂;b₂] orqali belgilaymiz. [a₂;b₂] ni teng ikkiga bo’lib, shu tarzda bu jarayonni cheksiz ko’p marta davom ettiramiz. Natijada ichma-ich joylashgan [a₁;b₁], [a₂;b₂],…, [a_n;b_n],… segmentlar ketma-ketligiga ega bo’lamiz. [a_k;b_k] segmentning uzunligi bo’lib, u k da nolga intiladi.
Ichma-ich joylashgan segmentlar printsipiga binoan (a_k) va (b_k) ketma-ketliklar umumiy chekli c limitga ega bo’ladi, ya’ni
a_k = b_k =c.
(x_n) ketma-ketlikning [a₁;b₁] dagi istalgan n₁ hadini olib, uni x orqali belgilaymiz. So’ngra (x ) ni [a₂;b₂] dagi n₂-hadidan keyin kelgan x hadini olamiz. Xuddi shu kabi (x_n) ning [a₃;b₃] dagi x , x hadlaridan keyin keladigan x hadini olamiz. Shu protsessni davom ettirib, x , x ,...,x ,... qism ketma-ketlikni hosil qilamiz.
x larning tanlanishiga asosan a_k x b_k, k=1,2,.... tengsizliklar o’rinli. Demak, =c .